Heute auf dem ArXiv: “Every knot is a billard knot” von Koseleff und Pecker.
Billards kennt man eigentlich 2-dimensional, auf einem rechteckigen (manchmal auch runden oder ovalen) Tisch.
Wenigstens in der Theorie kann man aber natürlich auch 3-dimensionales Billard spielen, die Kugeln also an den Begrenzungen eines 3-dimensionalen Körpers reflektieren lassen.
Praktisch wirds natürlich schwierig wegen der Schwerkraft.
(Die Bilder sind von Joseph O’Rourke auf MathOverflow.)
Die Trajektorien oben sind unverknotet. Man kann aber auch verknotete Billard-Trajektorien bekommen:
Vaughn Jones und Jozef Przytycki hatten 1998 bewiesen, daß in einem Würfel periodische Billiard-Trajektorien immer Lissajous-Knoten sind.
Es gab auch Arbeiten über Billard-Trajektorien in anderen Körpern, zum Beispiel hatten Lamm und Obermeyer untersucht, welche Knoten man als Trajektorien in einem Zylinder bekommen kann.
Jones und Przytycki hatten in ihrer Arbeit vermutet, daß sich jeder Knoten als Trajektorie eines Billards in einem geeigneten konvexen Polyeder realisieren läßt. Der heute auf dem ArXiv erschienene Preprint von Koseleff und Pecker beweist diese Vermutung, und er beweist sogar, daß sich jeder Knoten als Trajektorie eines Billards in einem konvexen geraden Prisma realisieren läßt.
(Ein gerades Prisma entsteht durch Parallelverschiebung eines Vielecks senkrecht zur Grundfläche. Das Bild unten links zeigt ein gerades Prisma, während das Prisma rechts nicht gerade ist.)
Gerades und schiefes Prisma
Der Beweis benutzt elementare Geometrie, aber auch Kroneckers Approximationssatz.
Literatur:
Jozef H. Przytycki (2004). Symmetric knots and billiard knots Chapter 20 of the book “Ideal Knots”, Vol. 19 in Series on Knots and Everything, Ed. A.Stasiak, V.Katrich, L.Kauffman, World Scientific, 1999, 374-414 arXiv: math/0405151v1
Christoph Lamm, & Daniel Obermeyer (1999). Billiard knots in a cylinder Journal of Knot Theory and Its Ramifications, 8 (3), 353-366 arXiv: math/9811006v1
Pierre-Vincent Koseleff, & Daniel Pecker (2011). Every knot is a billiard knot ArXiv arXiv: 1106.5600v1
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