Topologie von Flächen CLXXIV

Nochmal geschichtliches.

Wir hatten in den letzten Wochen Anwendungen der Homologie-Theorie auf die Topologie von Flächen, nämlich den Beweis des Jordanschen Kurvensatzes (TvF 171) und des Brouwerschen Fixpunktsatzes (TvF 173). Nächste Woche kommt noch eine andere Anwendung auf die Topologie der Flächen, nämlich ein einfacher Beweis der verallgemeinerten Eulerschen Polyederformel.

Bei beiden Beweisen war es wichtig, mit den Homologiegruppen und ihrer “Funktorialität” (d.h. stetige Abbildungen zwischen Räumen geben Homomorphismen zwischen deren Homologiegruppen) zu arbeiten.

Vor 2 Wochen hatten wir schon etwas über die Geschichte der Homologietheorie geschrieben: Poincaré als Begründer der Homologietheorie hatte nicht mit den Homologiegruppen gearbeitet, sondern nur mit deren Dimensionen (den sogenannten Betti-Zahlen) und den Torsions-Zahlen (die man mittels Elementarteilertheorie aus der Matrix des Randoperators gewinnen kann).

Standard-n-Simplex für n=0,1,2,3

In TvF 170 hatten wir die Definition der (singulären) Homologiegruppen eines Raumes X erklärt: man betrachtet formale Summen von (singulären) Simplizes, d.h. von stetigen Abbildungen des Standard-n-Simplex nach X, hat dann den Rand-Operator δ und definiert H_n(X)=Z_nn/B_n, wobei Z_n die Gruppe der n-dimensionalen Zykel (Lösungen von δz=0)
und B_n die Untergruppe der n-dimensionalen Ränder ist.

Die ursprüngliche Definition von Poincaré entsprach dem, was man heute Simpliziale Homologie nennt, d.h. er ging davon aus, bereits eine triangulierte (d.h. in Simplizes zerlegte) Mannigfaltigkeit X zu haben und berechnete dann die Homologie nur mittels der Simplizes in dieser Zerlegung. (Daß diese Definition dasselbe gibt wie die singuläre Homologie folgt letztlich aus dem 1910 von Brouwer bewiesenen Simplizialen Approximationssatz.)

Die heute gebräuchliche Definition der Singulären Homologiegruppen (TvF 170) wurde erst 1925 von Vietoris eingeführt (der Homologie ganz allgemein für kompakte metrische Räume benutzen wollte und deshalb nicht wie Poincaré von triangulierten Mannigfaltigkeiten ausgehen konnte.)
Vietoris (der übrigens das Vorbild für den Carl Jacob Candoris in “Abendland” war, auch wenn er mit diesem wohl kaum tatsächliche biographische Parallelen hat), mußte bei seiner Definition dann zwangsläufig mit Homologiegruppen (statt nur mit Betti- und Torsionszahlen) arbeiten, denn die Elementarteilertheorie zur Bestimmung der Torsionszahlen läßt sich auf die unendlich-dimensionalen singulären Kettenkomplexe nicht anwenden.

In der vorletzten Ausgabe der “Gazette des Mathematiciens” gab es einen Artikel, i.W. die Doktorarbeit von Nicolas Basbois (hier auch ein Vortrag Comment le structuralisme s’exprimé en topologie), der zu dem Schluß kam, daß man die Benutzung von Homologiegruppen eher Vietoris als Noether (deren Vorschlag wir vor 2 Wochen zitiert hatten) zuschreiben sollte. Man muß aber sagen, daß auch Vietoris eigentlich nicht mit den Gruppen und deren Funktorialität gearbeitet hat und sich letztlich nur für die Betti- und Torsions-Zahlen interessierte. Die erste wirkliche Anwendung gruppentheoretischer Methoden in der Topologie gab es erst 1928 durch Heinz Hopf, der sie (beeinflußt von Noether) benutzte, um einen einfacheren Beweis des Lefschetzschen Fixpunktsatzes zu geben. Insbesondere bekommt man damit auch einen einfachen algebraischen Beweis der (verallgemeinerten) Eulerschen Polyeder-Formel, dazu nächste Woche.

Natürlich hat man dann auch versucht, Homologie axiomatisch zu definieren. Ein erster Ansatz dazu wurde schon 1929 durch den späteren Einstein-Assistenten Walther Mayer veröffentlicht. Die heute gebräuchliche Axiomatik der Homologietheorien wird in den Eilenberg-Steenrod-Axiomen zusammengefaßt:

Die in TvF 170 definierten Homologiegruppen erfüllen diese 5 Axiome und zusätzlich¹ noch das Axiom H₀(P)=Z für den aus aus 1 Punkt bestehenden “Raum” P.
Aus diesen 6 Axiomen kann man die singulären Homologiegruppen dann für beliebige CW-Komplexe eindeutig berechnen.

¹: Zum zusätzlichen Axiom H₀(P)=Z: Es gibt sogenannte verallgemeinerte Homologietheorien, die dieselben 5 Eilenberg-Steenrod-Axiome erfüllen, wo man aber für H₀(P) eine andere Gruppe festlegt.

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