Die Klassifikation der Flächen.
Die Klassifikation der (kompakten, orientierbaren) Flächen besagt:
Jede zusammenhängende, kompakte, orientierbare Fläche bekommt man durch Ankleben einer Anzahl von Henkeln an die Sphäre:
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“Ankleben eines Henkels” meint: man bildet die zusammenhängende Summe mit einem Torus. (‘Zusammenhängende Summe’ zweier Flächen bedeutet: man schneidet aus beiden Flächen eine Kreisscheibe heraus und verklebt die Ränder dieser beiden Kreisscheiben.)
zusammenhängende Summe
Es gibt viele topologische Beweise der Klassifikation von Flächen, die meisten benutzen eine Zerlegung der Fläche in Dreiecke. (Daß sich Flächen triangulieren lassen, folgt letztlich aus dem Satz von Schönflies, wie wir letzte Woche angedeutet hatten.)
Wenn eine Fläche in Dreiecke zerlegt ist, dann erhält man sie aus einem Polygon durch Verkleben einiger Kanten. Das läßt sich mit einem einfachen Induktionsbeweis zeigen. Der Induktionsschritt: eine Vereinigung eines Polygons mit einem Dreieck ist wieder ein Polygon:
Außerdem kann man o.B.d.A. annehmen, daß alle Ecken des Polygons demselben Punkt auf der Fläche entsprechen.
Beweis: die Kanten der Triangulierung bilden einen Graph auf der Fläche. In diesem Graph gibt es einen maximalen Baum, der jede Ecke enthält. Diesen maximalen Baum kann man auf eine Ecke ‘kontrahieren’, danach erhält man eine Triangulierung, bei der alle Ecken im selben Punkt sind.
Man kann also eine Fläche beschreiben durch ein Polygon, dessen Kanten geschlossene Wege sind, und durch eine Vorschrift diese Kanten in Paaren zu verkleben. Wir nennen die Kanten A,B,C,… und die Fläche ist dann also gegeben durch ein Wort, in dem jeweils A und A-1 genau einmal vorkommen. (Weil die Fläche kompakt ist, haben wir ein endliches Polygon. Weil die Fläche orientiert ist, muß zu jeder Kante A noch einmal A-1 vorkommen. Bei einer nicht-orientierbaren Fläce könnte stattdessen auch zweimal A vorkommen.)
Wir hatten ja schon mehrmals gesehen, daß man Torus bzw. Brezel durch Identifikation der Kanten eines 4- bzw. 8-Ecks bekommen kann:
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Der Torus entspricht also dem Wort ABA-1B-1, die Brezel dem Wort ABA-1B-1CDC-1D-1. Die Sphäre entspricht dem Wort AA-1. (Die projektive Ebene entspräche AA, aber die ist ja nicht orientierbar.)
Man kann sich nun überlegen, daß ein Vorkommen von AA-1 in einem Wort bedeutet, daß die Fläche die zusammenhängende Summe aus der Sphäre und der durch den Rest des Wortes gegebenen Fläche ist.
Die zusammenhängende Summe mit einer Sphäre ergibt aber wieder die ursprüngliche Fläche. Man kann also die Vorkommen von AA-1 in dem Wort eliminieren und bekommt immer noch dieselbe Fläche.
Weiterhin kann man sich überlegen, daß ein Vorkommen (in dieser Reihenfolge) der Buchstaben A, B, A-1, B-1 bedeutet, daß die Fläche die zusammenhängende Summe aus dem Torus und der durch den Rest des Wortes gegebenen Fläche ist. Und zwar auch dann, wenn A, B, A-1, B-1 nicht unmittelbar aufeinanderfolgen. (Das finde ich nicht so offensichtlich. Eine Zeichnung dazu gibt es in Lecture 13 von Katok-Climenhaga.)
Mit diesen Vorbereitungen geht der Beweis der Klassifikation dann wie folgt.
Man will per Induktion beweisen, daß sich jede Fläche aus der Sphäre durch Ankleben von Henkeln (d.h. zusammenhängende Summe mit endlich vielen Tori) ergibt. (Die Induktion führt man am besten, über das negative der Eulercharakteristik.) Für den Induktionsschritt muß man zeigen, daß sich jede Fläche als zusammenhängende Summe einer einfacheren Fläche mit dem Torus darstellen läßt.
Die Fläche entspricht dem durch die Kanten des Polygons gegebenen Wort (in dem zu jedem Buchstaben A auch A-1 genau einmal vorkommt) und wir können o.B.d.A. annehmen, daß in dem Wort niemals A-1 direkt auf A folgt.
Wir wählen jetzt denjenigen Buchstaben A, für den in diesem Wort der Abstand von A zu A-1 minimal ist.
Weil A nicht auf A-1 folgt, gibt es (mindestens) einen Buchstaben B, der zwischen A und A-1 liegt.
Weil der Abstand für A minimal war, können nicht B und B-1 beide zwischen A und A-1 liegen.
Also enthält das Wort in dieser Reihenfolge die Buchstaben A, B, A-1, B-1. Das bedeutet aber gerade, daß die Fläche zusammenhängende Summe eines Torus mit einer einfacheren Fläche ist, liefert also den Induktionsschritt.
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