Die Klassifikation der Flächen.
Die Klassifikation der (kompakten, orientierbaren) Flächen besagt:
Jede zusammenhängende, kompakte, orientierbare Fläche bekommt man durch Ankleben einer Anzahl von Henkeln an die Sphäre:
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“Ankleben eines Henkels” meint: man bildet die zusammenhängende Summe mit einem Torus. (‘Zusammenhängende Summe’ zweier Flächen bedeutet: man schneidet aus beiden Flächen eine Kreisscheibe heraus und verklebt die Ränder dieser beiden Kreisscheiben.)
zusammenhängende Summe
Es gibt viele topologische Beweise der Klassifikation von Flächen, die meisten benutzen eine Zerlegung der Fläche in Dreiecke. (Daß sich Flächen triangulieren lassen, folgt letztlich aus dem Satz von Schönflies, wie wir letzte Woche angedeutet hatten.)
Wenn eine Fläche in Dreiecke zerlegt ist, dann erhält man sie aus einem Polygon durch Verkleben einiger Kanten. Das läßt sich mit einem einfachen Induktionsbeweis zeigen. Der Induktionsschritt: eine Vereinigung eines Polygons mit einem Dreieck ist wieder ein Polygon:
Außerdem kann man o.B.d.A. annehmen, daß alle Ecken des Polygons demselben Punkt auf der Fläche entsprechen.
Beweis: die Kanten der Triangulierung bilden einen Graph auf der Fläche. In diesem Graph gibt es einen maximalen Baum, der jede Ecke enthält. Diesen maximalen Baum kann man auf eine Ecke ‘kontrahieren’, danach erhält man eine Triangulierung, bei der alle Ecken im selben Punkt sind.
Man kann also eine Fläche beschreiben durch ein Polygon, dessen Kanten geschlossene Wege sind, und durch eine Vorschrift diese Kanten in Paaren zu verkleben. Wir nennen die Kanten A,B,C,… und die Fläche ist dann also gegeben durch ein Wort, in dem jeweils A und A-1 genau einmal vorkommen. (Weil die Fläche kompakt ist, haben wir ein endliches Polygon. Weil die Fläche orientiert ist, muß zu jeder Kante A noch einmal A-1 vorkommen. Bei einer nicht-orientierbaren Fläce könnte stattdessen auch zweimal A vorkommen.)
Wir hatten ja schon mehrmals gesehen, daß man Torus bzw. Brezel durch Identifikation der Kanten eines 4- bzw. 8-Ecks bekommen kann:
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Der Torus entspricht also dem Wort ABA-1B-1, die Brezel dem Wort ABA-1B-1CDC-1D-1. Die Sphäre entspricht dem Wort AA-1. (Die projektive Ebene entspräche AA, aber die ist ja nicht orientierbar.)
Man kann sich nun überlegen, daß ein Vorkommen von AA-1 in einem Wort bedeutet, daß die Fläche die zusammenhängende Summe aus der Sphäre und der durch den Rest des Wortes gegebenen Fläche ist.
Die zusammenhängende Summe mit einer Sphäre ergibt aber wieder die ursprüngliche Fläche. Man kann also die Vorkommen von AA-1 in dem Wort eliminieren und bekommt immer noch dieselbe Fläche.
Weiterhin kann man sich überlegen, daß ein Vorkommen (in dieser Reihenfolge) der Buchstaben A, B, A-1, B-1 bedeutet, daß die Fläche die zusammenhängende Summe aus dem Torus und der durch den Rest des Wortes gegebenen Fläche ist. Und zwar auch dann, wenn A, B, A-1, B-1 nicht unmittelbar aufeinanderfolgen. (Das finde ich nicht so offensichtlich. Eine Zeichnung dazu gibt es in Lecture 13 von Katok-Climenhaga.)
Mit diesen Vorbereitungen geht der Beweis der Klassifikation dann wie folgt.
Man will per Induktion beweisen, daß sich jede Fläche aus der Sphäre durch Ankleben von Henkeln (d.h. zusammenhängende Summe mit endlich vielen Tori) ergibt. (Die Induktion führt man am besten, über das negative der Eulercharakteristik.) Für den Induktionsschritt muß man zeigen, daß sich jede Fläche als zusammenhängende Summe einer einfacheren Fläche mit dem Torus darstellen läßt.
Die Fläche entspricht dem durch die Kanten des Polygons gegebenen Wort (in dem zu jedem Buchstaben A auch A-1 genau einmal vorkommt) und wir können o.B.d.A. annehmen, daß in dem Wort niemals A-1 direkt auf A folgt.
Wir wählen jetzt denjenigen Buchstaben A, für den in diesem Wort der Abstand von A zu A-1 minimal ist.
Weil A nicht auf A-1 folgt, gibt es (mindestens) einen Buchstaben B, der zwischen A und A-1 liegt.
Weil der Abstand für A minimal war, können nicht B und B-1 beide zwischen A und A-1 liegen.
Also enthält das Wort in dieser Reihenfolge die Buchstaben A, B, A-1, B-1. Das bedeutet aber gerade, daß die Fläche zusammenhängende Summe eines Torus mit einer einfacheren Fläche ist, liefert also den Induktionsschritt.
Literatur:
Seifert-Threlfall, Kapitel 38
Katok-Climenhaga, Lecture 13
tom Dieck, Kapitel 4
Gilmore: Classification of Surfaces
Teil 1, Teil 2, Teil 3, Teil 4, Teil 5, Teil 6, Teil 7 , Teil 8, Teil 9 , Teil 10 ,Teil 11, Teil 12, Teil 13, Teil 14, Teil 15, Teil 16, Teil 17, Teil 18, Teil 19, Teil 20, Teil 21, Teil 22, Teil 23, Teil 24, Teil 25, Teil 26, Teil 27, Teil 28, Teil 29, Teil 30, Teil 31, Teil 32, Teil 33, Teil 34, Teil 35, Teil 36, Teil 37, Teil 38, Teil 39, Teil 40, Teil 41, Teil 42, Teil 43, Teil 44, Teil 45, Teil 46, Teil 47, Teil 48, Teil 49, Teil 50, Teil 51, Teil 52, Teil 53, Teil 54, Teil 55, Teil 56, Teil 57, Teil 58, Teil 59, Teil 60, Teil 61, Teil 62, Teil 63, Teil 64, Teil 65, Teil 66, Teil 67, Teil 68, Teil 69, Teil 70, Teil 71, Teil 72, Teil 73, Teil 74, Teil 75, Teil 76, Teil 77, Teil 78, Teil 79, Teil 80, Teil 81, Teil 82, Teil 83, Teil 84, Teil 85, Teil 86, Teil 87, Teil 88, Teil 89, Teil 90, Teil 91, Teil 92, Teil 93, Teil 94, Teil 95, Teil 96, Teil 97, Teil 98, Teil 99, Teil 100, Teil 101, Teil 102, Teil 103, Teil 104, Teil 105, Teil 106, Teil 107, Teil 108, Teil 109, Teil 110, Teil 111, Teil 112, Teil 113, Teil 114, Teil 115, Teil 116, Teil 117, Teil 118, Teil 119, Teil 120, Teil 121, Teil 122, Teil 123, Teil 124, Teil 125, Teil 126, Teil 127, Teil 128, Teil 129, Teil 130, Teil 131, Teil 132, Teil 133, Teil 134, Teil 135, Teil 136, Teil 137, Teil 138, Teil 139, Teil 140, Teil 141, Teil 142, Teil 143, Teil 144, Teil 145, Teil 146, Teil 147, Teil 148, Teil 149, Teil 150, Teil 151, Teil 152, Teil 153, Teil 154, Teil 155, Teil 156, Teil 157, Teil 158, Teil 159, Teil 160, Teil 161, Teil 162, Teil 163, Teil 164, Teil 165, Teil 166, Teil 167, Teil 168, Teil 169, Teil 170, Teil 171, Teil 172, Teil 173, Teil 174, Teil 175, Teil 176, Teil 177
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