Topologie von Flächen CLXXIX

Eine solche meromorphe Funktion f:S–>C kann man dann aber auffassen als holomorphe Funktion von S nach

(in der Polstelle hat f den Wert unendlich).
Wenn man zur komplexen Ebene C noch einen Punkt ‘unendlich’ hinzunimmt, bekommt man den (komplexen) projektiven Raum P¹C, und dieser ist homöomorph zur Sphäre, wie man am besten mit stereographischer Projektion sieht:

Unsere meromorphe Funktion f:S–>C gibt also eine holomorphe Funktion f:S–>P¹C, und weil die Polstelle Vielfachheit 1 hat, ist f biholomorph (was natürlich zu beweisen ist, aber das ist nicht schwer), also insbesondere ein Homöomorphismus zur Riemannschen Sphäre. QED

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