Homotopiegruppen der 2-Sphäre.

Letzte Woche hatten wir erklärt, daß Abbildungen von S² nach S² genau dann homotop sind, wenn sie denselben Abbildungsgrad haben. Früher, in TvF 183 hatten wir auch schon mal erwähnt, daß Abbildungen von S³ nach S² genau dann homotop sind, wenn sie dieselbe Hopf-Invariante haben.

Homotopiegruppen

Weil Abbildungsgrad und Hopf-Invariante ganzzahlige Werte haben (und für beide Invarianten auch alle ganzzahligen Werte durch geeignete Abbildungen realisiert werden können), hat man also Bijektionen: [S²,S²]=Z sowie [S³,S²]=Z.

Die Homotopiegruppen π_mSⁿ sind eigentlich (nach Festlegung von Basispunkten) definiert als die Homotopieklassen von basispunkt-erhaltenden Abbildungen von S^m nach Sⁿ (modulo basispunkt-erhaltenden Homotopien).
Allgemein definiert man die Homotopiegruppen π_mX eines Raumes X (nach Wahl von Basispunkten in S^m und X) als die Gruppe der Homotopieklassen (bzgl. basispunkt-erhaltenden Homotopien) von basispunkt-erhaltenden Abbildungen S^m–>X.

Die Homotopiegruppe π_mX ist i.a. (für beliebige Räume) nicht dasselbe wie die Homotopieklassen [S^m,X] von beliebigen (nicht unbedingt basispunkt-erhaltenden) Abbildungen: es gibt eine Wirkung von π₁X auf π_nX und man hat [S^m,X]=π_mX/π₁X.

Im Fall von Sphären ist (für n≥2) allerdings π₁Sⁿ=0, weshalb man dann tatsächlich π_mSⁿ=[S^m,Sⁿ] und insbesondere die durch Abbildungsgrad bzw. Hopf-Invariante vermittelten Isomorphismen π₂S²=Z, π₃S²=Z bekommt.

Homotopiegruppen sind schwer zu berechnen. Für die Sphäre S² kennt man neben π₂ und π₃ auch noch alle Homotopiegruppen π_m für m≤64, zum Beispiel
pi_1(S^2) = 0
pi_2(S^2) = Z
pi_3(S^2) = Z
pi_4(S^2) = Z/2
pi_5(S^2) = Z/2
pi_6(S^2) = Z/4 x Z/3
pi_7(S^2) = Z/2
pi_8(S^2) = Z/2
pi_9(S^2) = Z/3
pi_10(S^2) = Z/3 x Z/5
pi_11(S^2) = Z/2
pi_12(S^2) = Z/2 x Z/2
pi_13(S^2) = Z/2 x Z/2 x Z/3
pi_14(S^2) = Z/2 x Z/2 x Z/4 x Z/3 x Z/7
pi_15(S^2) = Z/2 x Z/2
(Die Tabelle ist aus diesem Artikel von John Baez.)
Jie Wu hatte 2001 eine Arbeit in Math.Proc.Camb.Phil.Soc. mit einer xpliziten Beschreibung von Erzeugern und Relationen in π_mS² (Prop.4.9. in dieser Arbeit). Aber es ist ja bekanntlich nicht so einfach, aus der Kenntnis von Erzeugern und Relationen tatsächlich die Gruppe zu bestimmen. (Für abelsche Gruppen sollte es eigentlich machbar sein. Ich habe aber jedenfalls noch nicht versucht, Wu’s Formel etwa für m=65 anzuwenden.)

Ein allgemeiner Ansatz zur Berechnung der Homotopieklassen π_mSⁿ (als dessen Spezialfall man dann dann den durch den Abbildungsgrad vermittelten Isomorphismus π₂S²=Z bekommt) ist die Pontrjagin-Thom-Konstruktion. Die vermittelt einen Isomorphismus zwischen π_mSⁿ und der “Kobordismus-Gruppe gerahmter (n-m)-Mannigfaltigkeiten in S^m.

Die Grundidee ist:
Homotopieklassen von Abbildungen S²–>S² klassifizierte man ja über den Abbildungsgrad und diesen bestimmte man, indem man die Urbildpunkte eines (regulären) Wertes zählte, und zwar jeweils mit einem Vorzeichen nach Orientierung. Der Effekt des Vorzeichens war, daß sich Paare aus einem positiven und einem negativen Urbildpunkt gegenseitig annulieren konnten.
Ein Paar aus einem positiven und einem negativen Punkt ist aber gerade der Rand einer 1-Mannigfaltigkeit. Man kann also sagen, der Abbildungsgrad für Abbildungen S²–>S² klassifiziert 0-dimensionale Untermannigfaltigkeiten in S², modulo Rändern von 1-Mannigfaltigkeiten (die Abbildungsgrad 0 entsprechen). Die Verallgemeinerung dieser Idee auf beliebige Dimensionen ist das Konzept der gerahmten Kobordismusgruppen.

Kobordismus

Ein Kobordismus W zwischen zwei Mannigfaltigkeiten M,N ist eine Mannigfaltigkeit, deren Rand aus M und N besteht. (Die Dimension von W ist also um 1 höher als die Dimension von M und N.)

Das Bild aus der Wikipedia ist etwas verwirrend, weil man auf der rechten Seite einen Torus hat und auf der linken Seite, ja was eigentlich? M und N müssen jedenfalls dieselbe Dimension haben, auf der linken Seite müßte also eine Fläche sein.
Korrekter ist das andere Bild aus der Wikipedia, welches einen Kobordismus zwischen einem Kreis (oben) und der Vereinigung zweier Kreise (unten) zeigt:

Die Definition oben betrifft Kobordismengruppen abstrakter (d.h. nicht notwendig eingebetteter) Mannigfaltigkeiten.
Für die Berechnung von Homotopiegruppen braucht man aber gerahmte Kobordismen von Untermannigfaltigkeiten der S^m.