Topologie von Flächen CXCII

Ein Kobordismus zwischen Untermannigfaltigkeiten M, N ⊆ S^m bedeutet: der Kobordismus W ist eine Untermannigfaltigkeit von S^mx[0,1], der Rand besteht aus M in S^mx{0}=S^m und N in S^mx{1}=S^m.
Das Bild unten zeigt einen Kobordismus zwischen 0-dimensionalen Untermannigfaltigkeiten der S¹.

Rahmung (einer (m-n)-dimensionalen Untermannigfaltigkeit N in der S^m) bedeutet: zu jedem Punkt der Untermannigfaltigkeit hat man n linear unabhängige Vektoren, die orthogonal zur Untermannigfaltigkeit sind, und diese Vektoren hängen glatt vom Basispunkt ab (man hat also n “normale” Vektorfelder zu N). Das Bild zeigt den Fall m=3, n=2, also ein normales Vektorfeld einer Fläche im R³.

Normales Vektorfeld
Solch eine Rahmung gibt es natürlich nicht zu jeder Untermannigfaltigkeit (die n Vektorfelder liefern eine Trivialisierung des Normalbündels, die Untermannigfaltigkeit N muß also triviales Normalenbündel haben), aber man betrachtet für die gerahmten Kobordismusgruppen jetzt eben per Definition nur die gerahmten Untermannigfaltigkeiten und man betrachtet als Äquivalenzrelation den “gerahmten” Kobordismus, d.h. zwei gerahmte Untermannigfaltigkeiten N₁, N₂ der S^m heißen gerahmt kobordant, wenn es eine gerahmte Untermannigfaltigkeit W von S^mx[0,1] gibt, deren Rand gerade aus N₁ und N₂ (mit den gegebenen Rahmungen) besteht.

Das Pontrjagin-Thom-Theorem besagt dann, daß die Kobordismengruppe gerahmter (m-n)-Untermannigfaltigkeiten der S^m dasselbe ist wie π_mSⁿ. (Das liefert einen ersten (und in manchen Fällen erfolgreichen) Ansatz zur Berechnung von π_mSⁿ.)
Nämlich, zu jeder Abbildung f:S^m–>Sⁿ nimmt man das Urbild eines regulären Wertes (das ist eine (m-n)-dimensionale Untermannigfaltigkeit in S^m) und als Rahmung die zurückgezogene Rahmung des Bildpunktes in Sⁿ. Man kann dann zeigen, daß die gerahmten Kobordismenklassen gerade den Homotopieklassen von Abbildungen entsprechen. Dazu und zu Anwendungen auf die Berechnung von Homotopiegruppen nächste Woche.

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