Topologie von Flächen CXCIV

Man muß jetzt natürlich noch beweisen, daß die Homotopie auch in
∞ diffbar ist. (Differenzierbarkeit in allen anderen Punkten ist offensichtlich.)
Dies beweist man wie folgt:
Wähle einen Radius R groß genug, daß H(z,t) keine Nullstellen mit | z |≥ R hat. (Das ist möglich, weil H(z,t) = zⁿ(1+…) mit einem für z–>∞ gegen 1 konvergierenden Ausdruck in der Klammer, der also insbesondere positiv ist für hinreichend große z.) Wähle dann | z |≥ R als Umgebung von ∞. In der Karte φ(z)=1/z ist φH(z,t)φ^-1=1/(z^1/m+r(1/z)), wobei r ein Polynom von Grad m-1 ist. Um Differenzierbarkeit zu überprüfen, bilden wir den Differenzenquotienten, dieser ist 0 für m>1 und 1 für m=1. Insbesondere existiert die Ableitung in 0, also ist H(z,t) diffbar in φ(0)=∞.
Aus der Homotopie-Invarianz des Abbildungsgrades folgt dann also, daß Polynome vom Grad n den Abbildungsgrad n haben. Insbesondere sind Polynome vom Grad n>0 immer surjektiv.

Ein anderer kurzer (komplex-geometrischer, aber irgendwie auch topologischer) Beweis wird noch im Wikipedia-Artikel angegeben: mit dem selben Beweis wie für die Differenzierbarkeit zeigt man, daß die Abbildung P sogar holomorph ist, nichtkonstante holomorphe Abbildungen haben offenes Bild, außerdem ist das Bild der kompakten Menge P¹C wieder kompakt, insbesondere ist das Bild offen und abgeschlossen, also ganz P¹C.

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