Homotopiegruppen von Sphären.

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In den letzten Wochen hatten wir begonnen, Abbildungen zwischen Sphären bis auf Homotopie (TvF 190) zu klassifizieren bzw., was dasselbe ist (TvF 192), die Homotopiegruppen π_mSⁿ zu berechnen.

Abbildungen f:S²–>S² zum Beispiel (also Elemente aus π₂S²) wurden klassifiziert durch den Abbildungsgrad, weshalb eine Abbildung mit Abbildungsgrad 2 (Bild unten) nicht homotop zur Identität (Abbildungsgrad 1) oder zu einer konstanten Abbildung (Abbildungsgrad 0) ist.

Letzte Woche hatten wir gezeigt, wie man aus π₂S²=Z den Fundamentalsatz der Algebra beweisen kann. (Genauer gesagt brauchte man nicht nur den Fakt π₂S²=Z, sondern auch daß der Isomorphismus durch den Abbildungsgrad gegeben wird und daß man aus einem Polynom P vom Grad n eine Abbildung P:S²–>S² vom Abbildungsgrad n bekommt.)

“Berechnung” von Homotopiegruppen

Vor 2 Wochen hatten wir gesagt, daß man Homotopiegruppen π_mSⁿ “berechnen” kann als Kobordismusgruppe gerahmter (m-n)-Mannigfaltigkeiten in S^m (jedenfalls wenn man letztere berechnen kann) – das ist das Pontrjagin-Thom-Theorem.

π_mS^m

Als einfachsten Spezialfall (den wir schon in TvF 189, TvF 190, TvF 191 besprochen hatten) bekommt man π_mS^m=Z. Der Isomorphismus besteht darin, daß man jeder Abbildung f:S^m–>S^m ihren Abbildungsgrad deg(f) ∈ Z zuordnet. (Das hatten wir letzte Woche mit m=2 für den Beweis des Fundamentalsatzes benutzt.) Aus dem Pontrjagin-Thom-Theorem folgt das einfach deshalb, weil man die Kobordismengruppen gerahmter 0-Mannigfaltigkeiten (d.h. Vereinigungen von Punkten) klassfizieren kann durch Anzahl und Orientierung der
Punkte – dabei ist die Vereinigung von k positiv orientierten und l negativ orientierten Punkten kobordant zur Vereinigung von k-l positiv orientierten (bzw., falls l größer k, von l-k negativ orientierten) Punkten, weshalb die ganze Zahl k-l gerade die Kobordismusklasse bestimmt. Diese Zahl k-l entspricht aber nach Definition gerade dem Abbildungsgrad von f (TvF 189).

π_m+1S^m

Etwas komplizierter wird es schon bei π_m+1S^m. Das ist nach Pontrjagin-Thom dasselbe wie die Kobordismusgruppe gerahmter 1-Mannigfaltigkeiten in S^m+1.
Für m=2 hatten wir das mal in TvF 183 diskutiert: für eine Abbildung f:S³–>S² kann man ihre Hopf-Invariante H(f)∈ Z definieren als Verschlingungszahl von Urbildern zweier Punkte und das gibt einen Isomorphismus π₃S²=Z. Eine Abbildung mit H(f)=1 ist die in TvF 183 beschriebene Hopf-Faserung.

Zwei Urbilder mit Verschlingungszahl 1.

Für m≥3 ist π_m+1S^m=Z/2Z, das nichttriviale Element ist die (m-1)-fache Suspension der Hopf-Abbildung.

Als Suspension eines Raumes bezeichnet man den Doppelkegel über dem Raum, oben abgebildet ist die Suspension des Kreises. Allgemein ist (offensichtlich) die Suspension einer n-dimensionalen Sphäre immer die n+1-dimensionale Sphäre. Wenn man eine Abbildung f:X–>Y hat, kann man sie auf die offensichtliche Weise fortsetzen zu einer Abbildung zwischen den Suspensionen. Die Suspension der Hopf-Abbildung f:S³–>S² ist also eine Abbildung S⁴–>S³, durch wiederholte Suspension erhält man Abbildungen S^m+1–>S^m und man kann beweisen, daß diese die nichttrivialen Elemente in π_m+1S^m=Z/2Z sind. (Allgemein gilt nach dem Freudenthal-Theorem, daß sich π_m+kS^m ab m=k+2 nicht mehr ändert, hier also π₄S³=π₅S⁴=π₆S⁵=…. Den “Grenzwert” bezeichnet man als ‘stabile Homotopiegruppe’ π_k^S.)

Unter dem Pontrjagin-Thom-Theorem entspricht das nichttriviale Element von π_m+1S^m dem Kreis S¹ mit der Rahmung des Normalenbündels einer bestimmte Einbettung von S¹ in S³, nämlich man nimmt eine “Figur 8” (Bild unten) in der Ebene und verformt sie (unter Benutzung der zusätzlichen Dimension) ein wenig (um den Doppelpunkt aufzulösen) zu einer Einbettung in die S³.

(Stabil, d.h. für hirneichend große m, kann man auch ausnutzen, daß das stabile Normalenbündel komplementär zum Tangentialbündel ist, und kann deshalb die mit der Gruppenwirkung von SO(2)=S¹ auf S¹ konstruierte Trivialisierung des Tangentialbündel benutzen: man nimmt einen Tangentialvektor in einem Punkt und transportiert ihn mit der Gruppenwirkung zu Tangentialvektoren an allen anderen Punkte der S¹. )

π_m+2S^m

Auch π_m+2S^m kann man noch mit der Pontrjagin-Thom-Konstruktion berechnen, das Ergebnis für m≥3 ist ebenfalls Z/2Z. Das nichttriviale Element entspricht unter dem Pontrjagin-Thom-Isomorphismus dem Torus T²=S¹xS¹ mit der Rahmung zur Immersion in R³, die man bekommt, indem man die “Figur 8” in der x-y-Ebene nimmt und stetig über jedem Punkt (in der Ebene aus Normalenrichtung und z-Achse) eine weitere Figur 8 aufträgt, das Ergebnis ist ein in R³ immersierter Torus, den man im R⁴ einbetten kann.
(Oder stabil der Torus T²=S¹xS¹ mit der Rahmung, die man, analog zur obigen Rahmung der S¹, durch die Gruppenstruktur des Torus bekommt.)

π_m+3S^m

Und π_m+3S^m ist (für m≥5) isomorph zu Z/24Z, das nichttriviale Element entspricht einer 3-Mannigfaltigkeit, die man durch Anwendung von Koschorkes Figur-Acht-Konstruktion auf die Boy-Fläche (eine bestimmte Immersion der projektiven Ebene im R³) bekommt, oder wieder stabil der Lie-Gruppe SU(2)=S³. Explizit kann man einen Erzeuger von π₇S⁴ angeben als die zu den Quaternionen gehörende Hopf-Abbildung (TvF 184).