Homotopiegruppen von Sphären.

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In den letzten Wochen hatten wir begonnen, Abbildungen zwischen Sphären bis auf Homotopie (TvF 190) zu klassifizieren bzw., was dasselbe ist (TvF 192), die Homotopiegruppen π_mSⁿ zu berechnen.

Abbildungen f:S²–>S² zum Beispiel (also Elemente aus π₂S²) wurden klassifiziert durch den Abbildungsgrad, weshalb eine Abbildung mit Abbildungsgrad 2 (Bild unten) nicht homotop zur Identität (Abbildungsgrad 1) oder zu einer konstanten Abbildung (Abbildungsgrad 0) ist.

Letzte Woche hatten wir gezeigt, wie man aus π₂S²=Z den Fundamentalsatz der Algebra beweisen kann. (Genauer gesagt brauchte man nicht nur den Fakt π₂S²=Z, sondern auch daß der Isomorphismus durch den Abbildungsgrad gegeben wird und daß man aus einem Polynom P vom Grad n eine Abbildung P:S²–>S² vom Abbildungsgrad n bekommt.)

“Berechnung” von Homotopiegruppen

Vor 2 Wochen hatten wir gesagt, daß man Homotopiegruppen π_mSⁿ “berechnen” kann als Kobordismusgruppe gerahmter (m-n)-Mannigfaltigkeiten in S^m (jedenfalls wenn man letztere berechnen kann) – das ist das Pontrjagin-Thom-Theorem.

π_mS^m

Als einfachsten Spezialfall (den wir schon in TvF 189, TvF 190, TvF 191 besprochen hatten) bekommt man π_mS^m=Z. Der Isomorphismus besteht darin, daß man jeder Abbildung f:S^m–>S^m ihren Abbildungsgrad deg(f) ∈ Z zuordnet. (Das hatten wir letzte Woche mit m=2 für den Beweis des Fundamentalsatzes benutzt.) Aus dem Pontrjagin-Thom-Theorem folgt das einfach deshalb, weil man die Kobordismengruppen gerahmter 0-Mannigfaltigkeiten (d.h. Vereinigungen von Punkten) klassfizieren kann durch Anzahl und Orientierung der
Punkte – dabei ist die Vereinigung von k positiv orientierten und l negativ orientierten Punkten kobordant zur Vereinigung von k-l positiv orientierten (bzw., falls l größer k, von l-k negativ orientierten) Punkten, weshalb die ganze Zahl k-l gerade die Kobordismusklasse bestimmt. Diese Zahl k-l entspricht aber nach Definition gerade dem Abbildungsgrad von f (TvF 189).

π_m+1S^m

Etwas komplizierter wird es schon bei π_m+1S^m. Das ist nach Pontrjagin-Thom dasselbe wie die Kobordismusgruppe gerahmter 1-Mannigfaltigkeiten in S^m+1.
Für m=2 hatten wir das mal in TvF 183 diskutiert: für eine Abbildung f:S³–>S² kann man ihre Hopf-Invariante H(f)∈ Z definieren als Verschlingungszahl von Urbildern zweier Punkte und das gibt einen Isomorphismus π₃S²=Z. Eine Abbildung mit H(f)=1 ist die in TvF 183 beschriebene Hopf-Faserung.

Zwei Urbilder mit Verschlingungszahl 1.

Für m≥3 ist π_m+1S^m=Z/2Z, das nichttriviale Element ist die (m-1)-fache Suspension der Hopf-Abbildung.

Als Suspension eines Raumes bezeichnet man den Doppelkegel über dem Raum, oben abgebildet ist die Suspension des Kreises. Allgemein ist (offensichtlich) die Suspension einer n-dimensionalen Sphäre immer die n+1-dimensionale Sphäre. Wenn man eine Abbildung f:X–>Y hat, kann man sie auf die offensichtliche Weise fortsetzen zu einer Abbildung zwischen den Suspensionen. Die Suspension der Hopf-Abbildung f:S³–>S² ist also eine Abbildung S⁴–>S³, durch wiederholte Suspension erhält man Abbildungen S^m+1–>S^m und man kann beweisen, daß diese die nichttrivialen Elemente in π_m+1S^m=Z/2Z sind. (Allgemein gilt nach dem Freudenthal-Theorem, daß sich π_m+kS^m ab m=k+2 nicht mehr ändert, hier also π₄S³=π₅S⁴=π₆S⁵=…. Den “Grenzwert” bezeichnet man als ‘stabile Homotopiegruppe’ π_k^S.)

Unter dem Pontrjagin-Thom-Theorem entspricht das nichttriviale Element von π_m+1S^m dem Kreis S¹ mit der Rahmung des Normalenbündels einer bestimmte Einbettung von S¹ in S³, nämlich man nimmt eine “Figur 8” (Bild unten) in der Ebene und verformt sie (unter Benutzung der zusätzlichen Dimension) ein wenig (um den Doppelpunkt aufzulösen) zu einer Einbettung in die S³.

(Stabil, d.h. für hirneichend große m, kann man auch ausnutzen, daß das stabile Normalenbündel komplementär zum Tangentialbündel ist, und kann deshalb die mit der Gruppenwirkung von SO(2)=S¹ auf S¹ konstruierte Trivialisierung des Tangentialbündel benutzen: man nimmt einen Tangentialvektor in einem Punkt und transportiert ihn mit der Gruppenwirkung zu Tangentialvektoren an allen anderen Punkte der S¹. )

π_m+2S^m

Auch π_m+2S^m kann man noch mit der Pontrjagin-Thom-Konstruktion berechnen, das Ergebnis für m≥3 ist ebenfalls Z/2Z. Das nichttriviale Element entspricht unter dem Pontrjagin-Thom-Isomorphismus dem Torus T²=S¹xS¹ mit der Rahmung zur Immersion in R³, die man bekommt, indem man die “Figur 8” in der x-y-Ebene nimmt und stetig über jedem Punkt (in der Ebene aus Normalenrichtung und z-Achse) eine weitere Figur 8 aufträgt, das Ergebnis ist ein in R³ immersierter Torus, den man im R⁴ einbetten kann.
(Oder stabil der Torus T²=S¹xS¹ mit der Rahmung, die man, analog zur obigen Rahmung der S¹, durch die Gruppenstruktur des Torus bekommt.)

π_m+3S^m

Und π_m+3S^m ist (für m≥5) isomorph zu Z/24Z, das nichttriviale Element entspricht einer 3-Mannigfaltigkeit, die man durch Anwendung von Koschorkes Figur-Acht-Konstruktion auf die Boy-Fläche (eine bestimmte Immersion der projektiven Ebene im R³) bekommt, oder wieder stabil der Lie-Gruppe SU(2)=S³. Explizit kann man einen Erzeuger von π₇S⁴ angeben als die zu den Quaternionen gehörende Hopf-Abbildung (TvF 184).

Für höhere Kodimensionen wird die direkte Berechnung der gerahmten Kobordismusgruppen dann aber zu schwierig, weshalb man die Homotopiegruppen der Sphären lieber mit algebraischen Methoden zu berechnen versucht und die Pontrjagin-Thom-Konstruktion dann eher in umgekehrter Richtung verwendet, um aus Kenntnis der Homotopiegruppen die Kobordismusgruppen zu berechnen. Die Tabelle (aus der Wikipedia) zeigt einige bekannte Homotopiegruppen von Sphären. Allgemein ist die Berechnung der Homotopiegruppen zu schwierig, weshalb man hauptsächlich versucht, stabile Homotopiegruppen zu berechnen – dafür gibt es viele algebraische Ansätze, beginnend mit der Adams-Spektralsequenz, aber ebenfalls bisher keine allgemeinen Formeln.

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