Gruppenhomologie

Für einen Raum X nichtpositiver Krümmung ist also seine Homologie H_*X dasselbe wie de Homologie des Komplexes der straffen Simplizes mit Ecken in x₀. Letzterer hat aber eine einfache algebraische Beschreibung, die nur von der Fundamentalgruppe G:=π₁X abhängt: ein straffer n-Simplex mit Ecken in x₀ ist eindeutig bestimmt, sobald man die Homotopieklassen der Kanten, die die erste Ecke mit der 2.,3.,…,n+1-ten Ecke verbinden, kennt. Jeder straffe n-Simplex mit Ecken in x₀ entspricht also einem n-Tupel von Elementen in G=π₁X.
Man muß sich dann (was eine leichte Übungsaufgabe ist) noch überlegen, wie der Randoperator in dieser Beschreibung aussieht und bekommt damit die sogenannte Bar-Auflösung, deren Homologie man als Gruppenhomologie H_*G der Gruppe G bezeichnet. Offensichtlich, nach Konstruktion, hängt diese nur von der Gruppe G ab.
Und weil H_*G dasselbe ist wie die Homologie des Komplexes der straffen Simplizes mit Ecken in x₀ und letztere mit der Homologie H_*X übereinstimmt, liefert das also eine nur von der Fundamentalgruppe G abhängende Beschreibung der Homologie eines Raumes X mit Krümmung ≤ 0. (Dieselbe Konstruktion funktioniert mit einem ähnlichen Beweis sogar für alle asphärischen Räume X.)

Historisch hatte zuerst Heinz Hopf 1942 eine Formel für die 2.Homologie eines asphärischen Raumes X angegeben: wenn π₁X sich mit Erzeugern F und Relationen R präsentieren läßt, dann kann man die 2.Homologie berechnen als ([F,F]∩R)/[F,R]. (Für beliebige Räumen berechnet diese Formel H₂X/π₂X, also sozusagen den Teil der 2.Homologie, der nicht von 2-dimensionalen Sphären kommt.) Daraus entwickelte sich dann bald die allgemeine Beschreibung von Gruppenhomologie (über die Barauflösung oder auch allgemein über injektive Auflösungen). Zur Geschichte der Gruppenhomologie bei Frei-Stammbach:

The paper Fundamentalgruppe und zweite Bettische Gruppe is legitimately regarded to be the beginning of homological algebra. It opened the way for the definition of the homology and cohomology of a group. This step was made independently at different places shortly after the paper had become known: in the USA in the circle around Samuel Eilenberg and Saunders MacLane, in Switzerland by Heinz Hopf and Beno Eckmann and in the Netherlands by Hopf’s former student Hans Freudenthal. Hopf’s own paper on this topic Über die Bettischen Gruppen, die zu einer beliebigen Gruppe gehören appeared in 1944/45. Following his work mentioned above, he had conjectured that its main result could be generalized to higher dimensions. Hurewicz had shown in the thirties that the homology groups of an aspherical connected space are completely determined by the fundamental group G. Hopf’s first work contained the algebraic details of this proposition for the second homology group. In the comprehensive sequel he now showed how one can treat higher dimensions similarly. From today’s point of view, one can describe his purely algebraic construction as a G-free resolution of Z. For Hopf, it arose as the algebraic analogue of the complex of the universal covering of an aspherical space X with fundamental group G (whose existence was proved by Eilenberg and MacLane at the same time and independently of Hopf). The Betti groups were then defined as the homology groups of the complex which resulted from the free resolution by trivializing the G-action (tensor product with Z over G). Hurewicz’s result mentioned above corresponds in this context to the fact that the Betti groups do not depend on the choice of a particular free resolution of Z. By his procedure, Hopf assigned Betti groups to a given group in a purely algebraic way; so the basis for the (co-)homology theory of groups and of homological algebra was established. In the following years, this theory earned broad appreciation only slowly, possibly due to the necessary complex algebraic machinery. But gradually it became an indispensable tool in quite a large range of mathematical areas.
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