Vektorfelder auf Flächen
Nullstellen von Vektorfeldern
Vor 2 Wochen hatten wir erwähnt (aber noch nicht bewiesen), daß jedes Vektorfeld auf der Sphäre Nullstellen haben muß. Eine genauere Formulierung gab es letzte Woche: für jedes Vektorfeld auf der Sphäre muß die Summe der Indizes der Nullstellen gleich 2 sein. Den Index einer Nullstelle hatten wir ebenfalls letzte Woche definiert:
in den beiden ersten Bildern hat die Nullstelle Index 1, im dritten Bild Index -1:
Quelle
Vektorfelder auf Flächen
Statt sich nur für Vektorfelder auf Sphären zu interessieren, kann man auch gleich Vektorfelder auf beliebigen Flächen betrachten. Die Verallgemeinerung der obigen Behauptung (daß auf der Sphäre die Summe der Indizes immer 2 ist) ist dieser Satz von Poincaré:
Wenn man ein Vektorfeld auf einer Fläche mit g Henkeln hat, dann ist die Summe der Indizes der Nullstellen des Vektorfeldes gleich 2-2g.
Insbesondere kann es nur dann ein Vektorfeld ohne Nullstellen geben, wenn 2-2g=0, d.h. g=1 ist, also auf dem Torus.
Auf dem Torus gibt es tatsächlich durchaus Vektorfelder ohne Nullstellen, zum Beispiel dieses:
oder natürlich auch einfach das Vektorfeld, das immer in Richtung der jeweiligen Longitude zeigt, oder das Vektorfeld, das immer in Richtung des jeweiligen Meridians zeigt, …
2-2g
Woher kommt die Zahl 2-2g?
2-2g ist gerade die Euler-Charakteristik der Fläche mit g Henkeln, d.h.:
wenn man die Fläche in Polygone (d.h. n-Ecke, z.B. Dreiecke) zerlegt, dann ist 2-2g=E-K+F, wobei E,K,F die Anzahl der Ecken, Kanten und Polygone ist.
(Diese Gleichung hatten wir in TvF 4 für die Sphäre und in TvF 6 allgemein für die Fläche mit g Henkeln bewiesen.)
Den Satz von Poincaré kann man also auch so formulieren: für ein Vektorfeld auf einer triangulierten Fläche ist die Summe der Indizes der Nullstellen gleich E-K+F.
Für den Beweis ist diese Formulierung besser geeignet, weil sie das Problem sozusagen lokalisiert: man kann sich jetzt auf das Vektorfeld in der Umgebung der einzelnen Ecken, Kanten, Dreiecke konzentrieren und am Ende alles zusammenzählen.
Ein Beispiel
Wenn man eine Fläche trianguliert (in Dreiecke zerlegt) hat, kann man ein spezielles Vektorfeld konstruieren wie folgt:
man hat Nullstellen in allen Ecken, in den Mittelpunkten aller Seiten und in den Schwerpunkten jedes Dreiecks,
auf den Seiten zeigt das Feld jeweils in Richtung des Seitenmittelpunkts,
innerhalb der Dreiecke fließt das Feld zum Schwerpunkt:
Die Ecken und die Dreiecksschwerpunkte sind Nullstellen vom Index 1 (Quellen bzw. Senken),
die Seitenmittelpunkte sind Nullstellen vom Index -1 (Sattelpunkte),
man hat also E+F Nullstellen vom Index 1, K Nullstellen vom Index -1,
in diesem speziellen Beispiel ist damit die Summe der Indizes der Nullstellen tatsächlich E-K+F, also 2-2g.
Das ist natürlich nur ein spezielles Beispiel und für ein beliebiges Vektorfeld auf einer Fläche wird man nicht immer eine Triangulierung finden, bzgl. der das Vektorfeld gerade so aussieht.
Der allgemeine Beweis benutzt aber jedenfalls auch Triangulierungen der Fläche und untersucht dann das Aussehen des Vektorfeldes in den einzelnen Dreiecken, dazu nächste Woche.
Teil 1, Teil 2, Teil 3, Teil 4, Teil 5, Teil 6, Teil 7 , Teil 8, Teil 9 , Teil 10 ,Teil 11, Teil 12, Teil 13, Teil 14, Teil 15, Teil 16, Teil 17, Teil 18, Teil 19, Teil 20, Teil 21, Teil 22, Teil 23, Teil 24, Teil 25, Teil 26, Teil 27, Teil 28, Teil 29, Teil 30, Teil 31, Teil 32, Teil 33, Teil 34, Teil 35, Teil 36, Teil 37, Teil 38, Teil 39, Teil 40, Teil 41, Teil 42, Teil 43, Teil 44, Teil 45, Teil 46, Teil 47, Teil 48, Teil 49, Teil 50, Teil 51, Teil 52, Teil 53, Teil 54, Teil 55, Teil 56, Teil 57, Teil 58, Teil 59, Teil 60, Teil 61, Teil 62, Teil 63, Teil 64, Teil 65, Teil 66, Teil 67, Teil 68, Teil 69, Teil 70, Teil 71, Teil 72, Teil 73, Teil 74, Teil 75, Teil 76, Teil 77, Teil 78, Teil 79, Teil 80, Teil 81, Teil 82, Teil 83, Teil 84, Teil 85, Teil 86, Teil 87, Teil 88, Teil 89, Teil 90, Teil 91, Teil 92, Teil 93, Teil 94, Teil 95, Teil 96, Teil 97, Teil 98, Teil 99, Teil 100, Teil 101, Teil 102, Teil 103, Teil 104, Teil 105, Teil 106, Teil 107, Teil 108, Teil 109, Teil 110, Teil 111, Teil 112, Teil 113, Teil 114, Teil 115, Teil 116, Teil 117, Teil 118, Teil 119, Teil 120, Teil 121, Teil 122, Teil 123, Teil 124, Teil 125, Teil 126, Teil 127, Teil 128, Teil 129, Teil 130, Teil 131, Teil 132, Teil 133, Teil 134, Teil 135, Teil 136, Teil 137, Teil 138, Teil 139, Teil 140, Teil 141, Teil 142, Teil 143, Teil 144, Teil 145, Teil 146, Teil 147, Teil 148, Teil 149, Teil 150, Teil 151, Teil 152, Teil 153, Teil 154, Teil 155, Teil 156, Teil 157, Teil 158, Teil 159, Teil 160, Teil 161, Teil 162, Teil 163, Teil 164, Teil 165, Teil 166, Teil 167, Teil 168, Teil 169, Teil 170, Teil 171, Teil 172, Teil 173, Teil 174, Teil 175, Teil 176, Teil 177, Teil 178, Teil 179, Teil 180, Teil 181, Teil 182, Teil 183, Teil 184, Teil 185, Teil 186, Teil 187, Teil 188, Teil 189, Teil 190, Teil 191, Teil 192, Teil 193, Teil 194, Teil 195, Teil 196, Teil 197, Teil 198, Teil 199, Teil 200, Teil 201, Teil 202
Letzte Kommentare