Topologie von Flächen CCVII

Spezielle Vektorfelder und ein anderer Beweis von E-K+F=2-2g.

In den letzten Folgen war es um den Satz von Poincaré-Hopf gegangen, der besagt, dass die Summe der Indizes der Nullstellen eines Vektorfeldes immer gleich der Euler-Charakteristik sein muss.

Ein suggestives Beispiel dafür hatten wir in TvF 203 gesehen:
Wenn man eine Fläche trianguliert (in Dreiecke zerlegt) hat, kann man ein spezielles Vektorfeld konstruieren mit folgenden Eigenschaften:
man hat Nullstellen in allen Ecken, in den Mittelpunkten aller Seiten und in den Schwerpunkten jedes Dreiecks,
auf den Seiten zeigt das Feld jeweils in Richtung des Seitenmittelpunkts,
innerhalb der Dreiecke fließt das Feld zum Schwerpunkt:

Wie in TvF 203 gesagt, sind die Ecken und die Dreiecksschwerpunkte Nullstellen vom Index 1 (Quellen bzw. Senken), die Seitenmittelpunkte sind Nullstellen vom Index -1 (Sattelpunkte), man hat also E+F Nullstellen vom Index 1, K Nullstellen vom Index -1.
Die Summe der Indizes der Nullstellen ist E-K+F, die Euler-Charakteristik.

Dieses Beispiel-Vektorfeld spiegelte sozusagen die Zerlegung der Fläche in Dreiecke wieder.
Es gibt noch ein anderes interessantes Beispiel-Vektorfeld, welches sozusagen die Zerlegung der Fläche in Henkel widerspiegelt. (Das führt letztlich zur Morse-Theorie.)
Wir betrachten folgendes Vektorfeld:

In Formeln: man denkt sich die Fläche im drei-dimensionalen Raum R³, dort hat man die “Höhenfunktion” f(x,y,z)=z und man betrachtet nun das negative Gradientenfeld -grad(f), das also immer (in negativer Richtung) “möglichst parallel” zur z-Achse zeigt.
Auf der Fläche gibt es natürlich Punkte, deren Tangentialebene senkrecht zur z-Achse ist, wo dieses Gradienten-Vektorfeld also einfach eine Nullstelle hat. Das sind die im Bild dick eingezeichneten roten Punkte.

Im Bild hat das Vektorfeld 6 Nullstellen. Allgemein, auf einer Fläche mit g Henkeln hätte das Vektorfeld 2+2g Nullstellen (bzw. falls man die Fläche ungeschickt, d.h. mit weiteren Ausbeulungen, in den R³ gelegt hätte, auch noch mehr).

Von diesen Nullstellen ist eine ein Minimum von f, eine ein Maximum von f und die anderen 2g Nullstellen entsprechen Sattelpunkten von f.

Entsprechend der Definition des Index (Bild unten aus TvF 204) entsprechen die Maxima/Minima Nullstellen vom Index +1 (Bild links), die Sattelpunkte entsprechen Nullstellen vom Index -1 (Bild rechts).

Das Vektorfeld hat also 2 Nullstellen vom Index +1 und 2g Nullstellen vom Index -1. Die Summe der Indizes ist 2-2g.
Das ist natürlich nicht überraschend, denn nach dem Satz von Poincaré-Hopf muss die Euler-Charakteristik herauskommen und diese ist 2-2g, wie wir schon in TvF 4 bewiesen hatten.
Aber andererseits liefert der Vergleich der beiden speziellen Vektorfelder (zusammen mit der in TvF 204 bewiesenen Tatsache, dass die Summe der Indizes für alle Vektorfelder auf der Fläche dieselbe ist) einen anderen Beweis für die Formel E-K+F=2-2g, denn offensichtlich war ja für das durch die Triangulierung gegebene Vektorfeld die Summe der Indizes E-K+F, während sie für das in den obigen Bildern gegebene Gradientenvektorfeld der “Höhenfunktion” ebenso offensichtlich 2-2g ist.

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