Es ist klar, daß man dann eine Fläche (ohne Selbstschnitte) in der Universellen Überlagerung bekommt, aber es folgt noch nicht automatisch, daß es dann eine Fläche ohne Selbstschnitte schon in einer endlichen Überlagerung gibt.
Um aus der Arbeit von Kahn-Markovic die VHC (für hyperbolische 3-Mannigfaltigkeiten, wegen Geometrisierung genügt es diesen Fall zu betrachten) herzuleiten müßte man wissen, daß die Fundamentalgruppen hyperbolischer 3-Mannigfaltigkeiten LERF (locally extended residually finite) sind.
Ein Plan zur Lösung dieses Problems war von Daniel Wise in seinem monumentalen, 180 Seiten langen Preprint “The structure of groups with a quasiconvex hierarchy” entworfen worden. Die Vermutung, die er dort aufstellte war: wenn eine hyperbolische Gruppe G die Fundamentalgruppe eines kompakten Würfelkomplexes X mit nichtpositiver Krümmung ist, dann hat X eine endliche Überlagerung Y, die “speziell” ist. (Äquivalent: π1Y ist Untergruppe einer rechtwinkligen Artin-Gruppe.)
Die Fundamentalgruppe einer hyperbolischen Mannigfaltigkeit ist hyperbolisch und es folgt aus der Arbeit von Kahn-Markovic, dass die Fundamentalgruppe einer hyperbolischen 3-Mannigfaltigkeit gleichzeitig auch Fundamentalgruppe eines kompakten Würfelkomplexes X mit nichtpositiver Krümmung ist. Wises Vermutung läßt sich also auf hyperbolische 3-Mannigfaltigkeiten anwenden und man kann aus ihr herleiten, daß asphärische 3-Mannigfaltigkeiten die “Virtuell Haken”-Vermutung erfüllen und dann sogar noch einiges mehr: alle asphärischen 3-Mannigfaltigkeiten M haben endliche Überlagerungen, die ein Flächenbündel über S1 sind, ihre Fundamentalgruppen sind LERF, erlauben injektive Homomorphismen nach GL(n,Z) und haben Untergruppen von endlichen Index mit surjektiven Homomorphismen zur freien Gruppe (insbesondere hat M endliche Überlagerungen mit beliebig großer Betti-Zahl b1) und noch weitere komplizierter zu formulierende Folgerungen.
Diese Vermutung mit allen ihren Folgerungen soll jetzt also bewiesen sein, angekündigt heute in einem Vortrag beim IHP-Programm “Surfaces and 3-manifolds” von Ian Agol (aufbauend auf gemeinsamer Arbeit mit Daniel Groves und Jason Manning). (Abstract.)
Nachtrag: Der Beweis benutzt übrigens Perelmans Hyperbolisierungssatz, um den allgemeinen Fall asphärischer 3-Mannigfaltigkeiten auf den hyperbolischen Fall zu reduzieren. (Mit anderen Worten: Agols Beweis betrachtet nur hyperbolische 3-Mannigfaltigkeiten.) Ein topologischer Beweis für beliebige asphärische 3-Mannigfaltigkeiten hätte einen alternativen topologischen Beweis für das Hyperbolisierungstheorem geliefert.
Bilder:
1. https://mathworld.wolfram.com/Torus.html
2. https://en.wikipedia.org/wiki/File:MorinSurfaceAsSphere%27sInsideVersusOutside.PNG
Ian Agol, Daniel Groves, & Jason Manning (2012). The virtual Haken conjecture ArXiv arXiv: 1204.2810v1
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