Sattelpunkte und Henkelankleben.
Wie wir letzte Woche schon gesagt hatten, ist einer der Zugänge zur Topologie von Flächen S über Morsefunktionen f:S–>R (das sind differenzierbare Funktionen, die als kritische Punkte nur Maxima, Minima und Sattelpunkte haben; solche Funktionen gibt es auf jeder Fläche):
man sieht sich die Sublevelmengen {x in S: f(x) ≤ c} an und schaut, wie sich deren Topologie mit wachsendem c ändert.
Letzte Woche hatten wir gesehen, daß sich die Topologie nicht ändert, solange c keinen Wert eines kritischen Punktes von f durchläuft. (Heißt: Wenn f:S–>R keine kritischen Werte im Intervall [c1,c2] hat, dann sind die Sublevelmengen {x in S: f(x) ≤ c1} und {x in S: f(x) ≤ c2} diffeomorph.)
Die nächste und topologisch interessantere Frage ist dann natürlich, wie sich die Topologie ändert, wenn man den Wert eines kritischen Punktes überschreitet.
Vor 2 Wochen hatten wir gesehen, dass es für einen kritischen Punkt einer Morse-Funktion auf einer Fläche 3 Möglichkeiten gibt:
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Entweder handelt es sich um ein lokales Minimum oder um einen Sattelpunkt oder um ein lokales Maximum. (Nach einem passenden Koordinatenwechsel läßt sich die Funktion in einer Umgebung schreiben als f(x,y)=x2+y2+c oder f(x,y)=x2-y2+c oder f(x,y)=-x2-y2+c. Je nachdem welcher der 3 Fälle vorliegt sagt man, der kritische Punkt hat Index 0, 1 oder 2.)
Die Behauptung ist nun, daß nach Überschreiten eines kritischen Punktes vom Index i die
neue Sublevelmenge aus der alten gerade durch Ankleben eines i-Henkels entsteht.
Zunächst sollten wir wohl noch mal aus TvF 208 erinnern, was Ankleben eines i-Henkels bedeutet:
Die Behauptung ist also:
Sei S eine Fläche und f:S–>R eine Morsefunktion. Wenn es einen kritischen Punkt vom Index i gibt (i = 0 , 1 oder 2), dessen Funktionswert Im Intervall [a,b] liegt (und wenn dies der einzige kritsche Punkt x mit f(x) in [a,b] ist), dann ensteht {x in S: f(x) ≤ b} aus {x in S: f(x) ≤ a} durch Ankleben eines i-Henkels.
Das ist recht klar für i=0, also wenn der kritische Punkt ein lokales Minimum ist: in diesem Fall ist eine Umgebung des kritischen Punktes einfach eine Kreisscheibe, die zu {x in S: f(x) ≤ b}, aber nicht zu {x in S: f(x) ≤ a} gehört. Andererseits ist das Ankleben eines 0-Henkels ja nichts anderes als das Hinzulegen einer Kreisscheibe.
Auch für i=2, also ein lokales Maximum, ist es recht klar. Auch hier ist die Umgebung des kritischen Punktes eine Kreisscheibe, deren Rand ist die Levelmenge {x in S: f(x) = a} und {x in S: f(x) ≤ b} entsteht aus {x in S: f(x) ≤ a} durch Ankleben dieser Kreisscheibe entlang des Randes. Und andererseits ist ja das Ankleben eines 2-Henkels eben das Ankleben einer Kreisscheibe entlang ihres Randes.
Bleibt i=1, also wenn der kritische Punkt ein Sattelpunkt ist. Auch hier hat man eine Umgebung, die entlang der Levelmenge {x in S: f(x) = a} angeklebt wird. Die Umgebung hat aber nicht nur einen Rand in {x in S: f(x) = a}, sondern auch einen Rand in {x in S: f(x) = b}. Man klebt eine “Hose” entlang eines oder zweier Kreise an die vorherige Fläche {x in S: f(x) ≤ a} an, um {x in S: f(x) ≤ b} zu bekommen. Daß dies topologisch dasselbe ist wie das oben abgebildete Ankleben eines 1-Henkels sieht man am besten mit diesem Bild aus Milnors Buch
[c-ε,c+ε] entspricht unserem [a,b]. Das Bild zeigt eine Deformation (einen Diffeomorphismus von {x in S: f(x) ≤ c+ε} auf die durch Ankleben eines 1-Henkels an {x in S: f(x) ≤ c-ε} entstandene Fläche.
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