Zelluläre Homologie.

Letzte Woche ging es um den morsetheoretischen Beweis, daß jede kompakte Fläche (und analog jede kompakte Mannigfaltigkeit) homotopie-äquivalent zu einem CW-Komplex ist, sich also in Zellen zerlegen läßt.

Man kann das, wenn man die Klassifikation der Flächen schon kennt, natürlich auch ad hoc sehen, indem man Sphäre, Torus, Brezel … direkt in Zellen zerlegt:

Quelle: Hatcher: Algebraic Topology

Für eine Fläche mit g Henkeln braucht man eine 0-Zelle, 2g 1-Zellen und eine 2-Zelle. (Natürlich gibt es auch noch andere CW-Zerlegungen wie in TvF 212 diskutiert.)

Die durch die Morsetheorie gegebene Zellzerlegung kriegt man aber eben auch, wenn man die Klassifikation der Flächen mit ihrem etwas technischen Beweis aus TvF 158 noch nicht kennt. (Tatsächlich kann man die Klassifikation sogar mittels Morsetheorie beweisen, dafür braucht man dann nicht nur die Zellzerlegung, sondern die Henkelzerlegung aus TvF 211.) Heute aber zunächst zu einer Anwendung der Zellzerlegung, nämlich ein einfaches Berechnungsverfahren für Homologiegruppen.

Homologie

CW-Komplexe sind unter anderem deshalb nützlich, weil es einen einfachen Algorithmus zur Berechnung ihrer Homologie (und auch verallgemeinerter Homologietheorien wie der K-Theorie aus TvF 185) gibt.
Weil nach Morse-Theorie jede kompakte Mannigfaltigkeit homotopie-äquivalent zu einem CW-Komplex ist und die Homologiegruppen homotopie-invariant sind, kann man damit im Prinzip auch die Homologiegruppen von Mannigfaltigkeiten berechnen.

Homologie war ja ursprünglich (TvF 170) definiert über Simplizes:

Man nimmt Ketten (formale Summen) von Simplizes, betrachtet die Randabbildung, die k-Zykel sind per Definition diejenigen k-dimensionalen Ketten, deren Rand 0 ist, die k-te Homologiegruppe ist der Quotient aus k-dimensionalen Zykeln modulo Rändern.

AB + BC + CG + GI + IK +KJ + JD + DA ist ein Zykel und auch ein Rand, entspricht also dem Null-Element der 1-ten Homologie.

Es liegt natürlich nahe, daß es einfacher wäre, mit Zellen statt mit Simplizes zu arbeiten. Wie die Beispiele im ersten Bild am Anfang des Artikels nahelegen braucht man für die Zerlegung einer Fläche in Zellen viel weniger Zellen als man Simplizes für eine Triangulierung brauchen würde und das vereinfacht Rechnungen natürlich erheblich.

Andererseits ist es zunächst nicht offensichtlich, wie man für einen CW-Komplex X den Randoperator definieren will. CW-Komplexe lassen sich ja gerade deshalb einfacher konstruieren als Simplizialkomplexe, weil der Rand einer k-Zelle nicht unbedingt eine “Summe” aus k-1-Zellen sein muß, sondern nur irgendwie ins k-1-Skelett X^(k-1) abgebildet wird, evtl. auch in Zellen noch niedrigerer Dimension.
(Mit X^(k) bezeichnen wir im folgenden das k-Skelett, also die Vereinigung aller höchstens k-dimensionalen Zellen.)

Jedoch existiert eine Möglichkeit, den Rand-Operator zu definieren wie folgt: Eine k-Zelle hat ihre Rand in X^(k-1) (und gehört selbst natürlich zu X^(k)), definiert also ein Element in H_k(X^(k),X^(k-1)). Man kann leicht sehen (Hatcher, Lemma 2.34), daß H_k(X^(k),X^(k-1)) von den k-Zellen erzeugt wird. Diese Gruppe ist also sozusagen das zelluläre Analog zu den k-Ketten in der Definition von Homologie über Simplizes. Und den Randoperator H_k(X^(k),X^(k-1))—>H_k-1(X^(k-1),X^(k-2)) kann man definieren als Komposition aus δ:H_k(X^(k),X^(k-1))—>H_k(X^(k)) und j:H_k(X^(k))—>H_k-1(X^(k-1),X^(k-2)). (Die erste Abbildung δ ist die mit Hilfe des Zick-Zack-Lemmas definierte Randabbildung der langen exakten Sequenz des Paares (X^(k),X^(k-1)), die zweite kommt einfach von der Inklusion (X^(k-1),φ)—>(X^(k-1),X^(k-2)).) Mit den Gruppen H_k(X^(k),X^(k-1)) und diesem Randoperator hat man dann also einen Komplex, der sozusagen die Randabbildung zwischen Zellen wiederspiegelt.

Und wunderbarerweise (Hatcher, Theorem 2.35) stellt es sich heraus (und läßt sich mit Standard-Mehoden der Algebraischen Topologie beweisen), daß die mit diesen Gruppen und diesem Randoperator δ definierte Homologie ker(δ)/im(δ) tatsächlich dasselbe ist wie die ursprünglich über die Kettenkomplexe von Simplizes definierte Homologie. Man kann die Homologie also mit diesem Komplex berechnen und das ist viel einfacher als die ursprüngliche Definition über die von den Simplizes erzeugte Kettengruppe, denn diese ist viel größer als die von den Zellen erzeugte Gruppe.

WIE einfach die Berechnung der Homologie von CW-Komplexen ist zeigt das suggestive Beispiel der Flächen. Nehmen wir noch einmal die Zellzerlegungen aus dem Hatcher:

Quelle: Hatcher: Algebraic Topology

Man sieht sofort, daß die Randabbildungen δ hier immer δ=0 sind: die Ränder aller 1-Simplizes bestehen jeweils aus zweimal demselben 0-Simplex mit entgegengesetzten Vorzeichen. Ähnlich kommen in den Rändern der 2-Simplizes alle 1-Simplizes zweimal vor, mit entgegengesetzten Vorzeichen. Also δ=0 und die Homologie ker(δ)/im(δ) ist einfach die ganze von den Zellen erzeugte Gruppe.
Im Fall des Torus hat man eine 0-Zelle, zwei 1-Zellen, eine 2-Zelle, also H₀=Z, H₁=Z², H₂=Z. Im Fall der Brezel hat man vier 1-Zellen, also entsprechend H₀=Z, H₁=Z⁴, H₂=Z. Allgemein für die Fläche mit g Henkeln bekommt man H₀=Z, H₁=Z^2g, H₂=Z.

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