Mindestens 3 kürzeste Kreise auf jeder verbeulten Sphäre.
Geodäten – d.h. (lokal) kürzeste Verbindungen – in der Ebene sind das natürlich die Geraden.
Auf der runden Sphäre sind es die Großkreise wie im Bild unten. (Der kürzeste Weg von London nach Fidschi führt über den Nordpol. Die Geodäte von Washington nach Mekka zeigt in nordöstlicher Richtung. Siehe TvF 56.)
Sphären
Auf der runden Sphäre gibt es also unendlich viele Geodäten.
Ist das auch auf jeder ‘verbeulten’ Sphäre der Fall? Die Antwort ist negativ, ein Gegenbeispiel ist das Ellipsoid.
Wenn die Längen der 3 Achsen unterschiedlich sind, aber sich nicht zu stark unterscheiden, dann sind die 3 Achsen die einzigen geschlossenen Geodäten auf dem Ellipsoid.
Muß es auch auf jeder anderen ‘verbeulten’ Sphäre mindestens 3 geschlossene Geodäten ohne Selbstschnitte geben? Die Antwort ist positiv, dies wurde 1929 von Lusternik und Schnirelman bewiesen.
Wir hatten in den vergangenen Wochen über Morse-Theorie und Lusternik-Schnirelman-Theorie geschrieben, zwei Methoden, mit denen man u.a. untere Schranken für die Anzahl kritischer Punkte einer Funktion auf einer Fläche (oder höher-dimensionalen Mannigfaltigkeit) bekommt. Beide waren ursprünglich wesentlich motiviert durch die Frage nach der Anzahl geschlossener Geodäten auf einer Fläche.
Der Zusammenhang mit der Suche nach kritischen Punkten ergibt sich daraus, daß die geschlossenen Geodäten gerade die kritischen Punkte (Minima) des Energiefunktionals auf dem “freien Schleifenraum” (d.h. dem Raum der geschlossenen Kurven auf der Mannigfaltigkeit) sind. (Dazu nächste Woche ausführlicher.)
Der Beweis der Existenz von mindestens 3 geschlossenen Geodäten auf jeder verbeulten Sphäre geht auf Lusternik-Schnirelman zurück (man findet auch einen Beweis im Appendix zu Klingenberg: “Lectures on closed geodesics”) und nutzt subtile topologische Methoden. (Allerdings nicht die vor 2 Wochen besprochene Lusternik-Schnirelman-Kategorie, auch wenn man natürlich vermuten kann, dass es die Beschäftigung mit dieser Frage war, die Lusternik und Schnirelman darauf brachte, dass die Lusternik-Schnirelman-Kategorie eine untere Schranke für die Anzahl der kritischen Punkte liefert.) Ballmann verallgemeinerte den Satz 1977 auf die projektive Ebene (TvF 155): auch auf der projektiven Ebene gibt es bei jeder Metrik mindestens 3 geschlossene Geodäten.
Aus einem klassischen Satz von Serre folgt übrigens, daß die Cup-Length des Schleifenraumes der Sphäre (d.h. des Raumes der geschlossenen Kurven mit vorgegebenem Startpunkt x) unendlich ist, und damit dann auch die Lusternik-Schnirelman-Kategorie des Schleifenraums (denn diese ist immer mindestens so groß wie die Cup-Length). Fadell-Husseini haben 1989 bewiesen, daß auch die Lusternik-Schnirelman-Kategorie des freien Schleifenraums unendlich ist.
Andere Flächen
Über geschlossene Geodäten auf flachen Tori und auf hyperbolischen Flächen hatten wir in TvF 79 mal geschrieben. Allgemein gilt nach einem Satz von Hadamard: wenn die Krümmung der Fläche ≤ 0 ist, dann ist auf der Fläche jede geschlossene Kurve homotop zu einer geschlossenen Geodäten.
Quelle: Calegari “Foliations and the geometry of 3-manifolds”
Insbesondere gibt es unendlich viele geschlossene Geodäten. Der Satz von Margulis gibt einem sogar eine asymptotische Formel für die Anzahl der Geodäten bestimmter Länge T (auf einer hyperbolischen Fläche) – diese ist asymptotisch eT/T.
Auch für alle anderen Metriken (nicht nur die mit Krümmung ≤ 0) auf (kompakten, orientierbaren) Flächen mit mindestens einem Henkel kann man beweisen, daß es unendlich viele geschlossene Geodäten gibt.
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