Bemerkenswerterweise gibt es aber einen Satz von Gromoll-Meyer, der eine Aussage für völlig beliebige Metriken (auf denen die Energie evtl. keine Morse-Funktion ist) liefert:
wenn die Folge bi(ΛM) unbeschränkt ist, dann gibt es auf M unendlich viele geschlossene Geodäten.
Damit hat man jetzt eine rein topologische Bedingung und man kann mit topologischen Methoden, insbesondere rationaler Homotopietheorie, untersuchen, wann diese Bedingung erfüllt ist. Die grundlegende Arbeit dazu ist “The homology theory of the closed geodesic problem” von Vigué-Poirrier und Sullivan, es gibt aber viele weitere Resultate. In der Arbeit von Sullivan und Vigué-Poirrier war bewiesen worden, dass die Bedingung “bi(ΛM) unbeschränkt” aus dem Gromoll-Meyer-Theorem dann und nur dann erfüllt ist, wenn die Kohomologiealgebra von M mindestens zwei Erzeuger hat.
Insbesondere für alle Flächen mit mindestens einem Henkel gibt es (was allerdings für Flächen auch schon vorher bekannt war) zu jeder Metrik unendlich viele geschlossene Geodäten.
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