Die Heegard-Zerlegung ist also jedenfalls nicht eindeutig. Als nächstes kann man fragen, ob es vielleicht für jede 3-Mannigfaltigkeit eine ‘minimale’ Heegard-Zerlegung gibt, aus der alle anderen Heegard-Zerlegungen durch Stabilisierung entstehen.
Für die S3 ist das tatsächlich der Fall. Aus dem Satz von Schoenflies (TvF 163) folgt zum Beispiel, dass es nur eine (‘triviale’) Heegard-Zerlegung der S3 mit einer Sphäre als Heegardfläche gibt. Auch die Heegard-Zerlegungen der S3 mit Heegard-Flächen höheren Geschlechts entstehen alle durch Stabilisierung der ‘trivialen’ Heegard-Zerlegung – das ist ein Satz von Waldhausen.
Es gibt noch mehr 3-Mannigfaltigkeiten, für die Heegard-Zerlegungen im wesentlichen eindeutig sind. Bonahon und Otal haben bewiesen, dass jede Heegard-Zerlegung eines Linsenraumes durch Stabilisierung aus der ‘offensichtlichen’ Zerlegung des Linsenraums in zwei Volltori entsteht. Für atoroidale (z.B. hyperbolische) 3-Mannigfaltigkeit besagt die ‘verallgemeinerte Waldhausen-Vermutung’ immerhin noch, dass es nur endlich viele Heegard-Zerlegungen mit einer Heegard-Fläche vorgegebenen Geschlechts gibt – diese Vermutung wurde für atoroidale Haken-Mannigfaltigkeiten 1994 von Johannson und allgemein für atoroidale Mannigfaltigkeiten 2004 von Tao Li bewiesen. Für viele andere 3-Mannigfaltigkeiten, z.B. Seifert-Faserungen sieht es aber komplizierter aus. Insofern liefern Heegard-Zerlegungen zwar einen kombinatorischen Zugang, aber nicht wirklich eine Tabulierung von 3-Manigfaltigkeiten.
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