Gegen jede Intuition.

Wenn es einen mathematischen Satz gibt, den ich als völlig kontra-intuitiv bezeichnen würde, dann ist es der C¹-Einbettungssatz von John Nash.

(Wer den Hollywood-Film “A beautiful mind” gesehen hat: dort wird die ‘Einbettung der Mannigfaltigkeit’ mehrmals am Rande erwähnt.)

Der Einbettungssatz besagt, dass man jede Fläche isometrisch (d.h. abstände-und winkelerhaltend) und C¹ (d.h. einmal stetig differenzierbar) in eine beliebig kleine Umgebung des Nullpunktes im R³ einbetten kann.

Tightly packed curls.

(Einen entsprechenden Satz gibt es dann auch für höher-dimensionale Mannigfaltigkeiten, die man ebenfalls isometrisch und C¹ in einen euklidischen Raum und sogar einen beliebig kleinen Ball einbetten kann.)

Scheinbar absurd

Warum ist dieser Satz scheinbar absurd?

Wenn man eine Fläche in einen Ball vom Radius ε einbettet, sagen wir so dass es auf der Fläche tatsächlich (einen oder mehrere) Punkte gibt, die Abstand ε vom Nullpunkt haben, dann berühren sich in diesen Extrempunkten die Fläche und die Sphäre. Weil die Fläche komplett im Inneren der Sphäre liegt, muß ihre Krümmung mindestens so gross sein wie die der Sphäre (denn die Fläche berührt die Sphäre ja von innen).

Im Berührungspunkt hat die innere Fläche (rot) grössere Krümmung als die äussere Fläche (blau).

Die Sphäre vom Radius ε hat Krümmung ε^-2.
Die Krümmung der von innen berührenden Fläche muß in diesem Berührpunkt also mindestens ε^-2 sein.

Andererseits sagt aber das Theorema Egregium (Gauß 1828), dass sich die Krümmung einer Fläche bereits aus ihrer Metrik (d.h. aus den Abständen und Winkeln) bestimmen lässt.

Also, wenn man eine gegebene Fläche hat, dann kann man aus ihrer Metrik die Krümmung K in jedem Punkt berechnen – und wenn man die Fläche in einen Ball vom Radius ε (oder kleiner) einbettet, dann ist andererseits aber jedenfalls in einem Punkt die Krümmung mindestens ε^-2, d.h. für das Maximum K_max der Krümmung muß ε≥1/(K_max)^1/2 gelten.

Man kann die Fläche mit ihrer gegebenen Metrik also nicht in einen beliebig kleinen ε-Ball einbetten.

Wo ist der Haken bei diesem Beweis?

Der Beweis benutzt die Krümmung, deren Formel wiederum die zweiten Ableitungen der Einbettung (oder die zweiten Ableitungen der Metrik). Der Beweis funktioniert also nur für 2-mal differenzierbare Einbettungen und beweist dann also, dass man eine Fläche nicht 2-mal differenzierbar in einen Ball vom Radius kleiner als 1/(K_max)^1/2 einbeten kann.

Ohne 2. Ableitung geht’s dann doch.

Wenn man Einbettungen betrachtet, die nur 1-mal differenzierbar sind, dann kann man keine Krümmung mehr definieren (weil in der Formel 2. Ableitungen vorkommen) und der obige Beweis funktioniert nicht mehr. Man würde natürlich erwarten, dass das nur ein technisches Problem ist, dass man den Beweis nur irgendwie modifizieren muß – dem ist aber nicht so.

Völlig unintuitiverweise gibt es solche Einbettungen in beliebig kleine Bälle dann doch, wenn man sich mit 1-mal differenzierbaren Abbildungen zufriedengibt. Das ist die oben im dritten Absatz beschriebene C¹-Version des Nash-Einbettungssatzes, ein völlig anti-intuitiver, technisch aber (im Nachhinein) als nicht besonders schwierig geltender Satz..

Die von Nash später bewiesene C^infty-Version seines Einbettungssatzes besagt, dass man jede Riemannsche Mannigfaltigkeit in einen euklidischen Raum isometrisch C^infty-einbetten kann (natürlich dann, wie oben bewiesen, nicht mehr in einen beliebig kleinen ε-Ball). Diese Version gilt als beweistechnisch sehr viel schwieriger. Zur Geschichte des Beweises und seiner Verbesserungen findet man einiges in der Wikipedia:

The Nash embedding theorems state that every Riemannian manifold can be isometrically embedded into some Euclidean space. Isometric means preserving the length of every path. For instance, bending without stretching or tearing a page of paper gives an isometric embedding of the page into Euclidean space because curves drawn on the page retain the same arclength however the page is bent.

The first theorem is for continuously differentiable (C¹) embeddings and the second for analytic embeddings or embeddings that are smooth of class C^k, 3 ≤ k ≤ ∞. These two theorems are very different from each other; the first one has a very simple proof and is very counterintuitive, while the proof of the second one is very technical but the result is not at all surprising.

The C¹ theorem was published in 1954, the C^k-theorem in 1956. The real analytic theorem was first treated by Nash in 1966; his argument was simplified considerably by Greene & Jacobowitz (1971). (A local version of this result was proved by Élie Cartan and Maurice Janet in the 1920s.) In the real analytic case, the smoothing operators in the Nash inverse function argument can be replaced by Cauchy estimates. Nash’s proof of the C^k– case was later extrapolated into the h-principle and Nash-Moser implicit function theorem. A simplified proof of the second Nash embedding theorem was obtained by Günther (1989) who reduced the set of nonlinear partial differential equations to an elliptic system, to which the contraction mapping theorem could be applied.

The Nash embedding theorem is a global theorem in the sense that the whole manifold is embedded into Rⁿ. A local embedding theorem is much simpler and can be proved using the implicit function theorem of advanced calculus. The proof of the global embedding theorem relies on Nash’s far-reaching generalization of the implicit function theorem, the Nash-Moser theorem and Newton’s method with postconditioning. The basic idea of Nash’s solution of the embedding problem is the use of Newton’s method to prove the existence of a solution to the above system of PDEs. The standard Newton’s method fails to converge when applied to the system; Nash uses smoothing operators defined by convolution to make the Newton iteration converge: this is Newton’s method with postconditioning. The fact that this technique furnishes a solution is in itself an existence theorem and of independent interest. There is also an older method called Kantorovich iteration that uses Newton’s method directly (without the introduction of smoothing operators).

Ein- oder zweimal differenzierbar?

Wir hatten ja letzte Woche schon eine andere Folgerung aus dem Nash-Einbettungssatz, die den Unterschied zwischen 1- und 2-mal differenzierbar verdeutlichte, nämlich den Satz, dass man den flachen Torus isometrisch 1-mal differenzierbar in den R³ einbetten kann, aber nicht 2-mal differenzierbar (aus einem ähnlichen Grund, weil in den ‘Extrempunkten’ die Krümmung positiv wäre).
Ich bin dann per e-Mail gefragt worden, was eigentlich einfache Beispiele von 1-mal, aber nicht 2-mal differenzierbaren Funktionen f:R—>R wären. Ein Beispiel, welches gerne in Analysis I-Übungen gerechnet wird, ist die durch f(x)=x²sin(1/x) für x≠0 und f(0)=0 gegebene Funktion. Hier ist f'(0)=0, aber f'(x)=2xsin(1/x)-cos(1/x) für x≠0, die Ableitung ist also nicht stetig.
Das wahrscheinlich einfachste Beispiel ist aber f(x)=xIxI. In diesem Fall ist die Ableitung f'(x)=2IxI, und diese Ableitung ist zwar stetig, aber kein zweites Mal differenzierbar.

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