Im Februar 2012 wurde die Willmore-Vermutung bewiesen. Sie beschreibt, welche Donuts Seifenblasen am nächsten kommen, d.h. die geringste Willmore-Energie haben.

Willmore-Energie

Wir hatten uns hier in der Reihe einige Folgen lang mit Minimalflächen befaßt, u.a. in TvF 233 etwas über die Klassifikation der Minimalflächen im R³ geschrieben (soweit bekannt). Diese Minimalflächen im R³ haben immer “Enden” im Unendlichen, sie sind keine geschlossenen Flächen. Tatsächlich kann es nach dem Maximumprinzip keine geschlossenen Minimalflächen im R³ geben.
Deshalb hatten wir uns letzte Woche gefragt, welche geschlossenen Flächen denn den Minimalflächen “am nächsten kommen”.
Minimalflächen waren ja – per Definition – Flächen, deren mittlere Krümmung H konstant 0 ist. Die naheliegende Verallgemeinerung (oder besser Annäherung) zu Minimalflächen war dann nach Flächen Σ zu suchen, für welche die Willmore-Energie

möglichst klein wird.

Für eine runde Sphäre (von beliebigem Radius) ist die Willmore-Energie W=4π. Wie wir letzte Woche gesehen hatten, kann man mit einem elementaren Beweis zeigen, dass für jede Sphäre und allgemeiner für jede geschlossene Fläche im R³ die Ungleichung

gilt. Die runde Sphäre ist also die geschlossene Fläche mit minimaler Willmore-Energie, sozusagen die einer Minimalfläche am Nähesten kommende geschlossene Fläche.

Was ist für Flächen mit Henkeln, zum Beispiel für Tori? Eine Vermutung von Willmore besagte, dass für Tori die Willmore-Energie immer mindestens 2π² ist. Diese Zahl ist gerade der Wert der Willmore-Energie für sogenannte Clifford-Tori.

Clifford-Tori

Was ist ein Clifford-Torus?

In Teil 234 hatten wir mal über Minimalflächen in der 3-dimensionalen Sphäre

(bzgl. der Metrik mit Schnittkrümmung konstant 1) geschrieben.
Dort hat man Minimal-Tori, die gegeben sind durch die Gleichung

und wie Brendle Anfang 2012 bewiesen hat, bekommt man alle Minimal-Tori in der S³ durch Anwendung von Drehungen und Spiegelungen der S³ aus diesem Beispiel. Man bezeichnet diese Minimal-Tori in der S³ als Clifford-Tori:

Wir interessieren uns in diesem Beitrag aber natürlich für Tori im R³.
In TvF 159 hatten wir mal die stereographische Projektion der Sphäre auf die Ebene definiert, die Bilder unten zeigen die stereographische Projektion der 1-dimensionalen Sphäre auf die 1-dimensionale Gerade und der 2-dimensionalen Sphäre auf die 2-dimensionale Ebene.

Genauso kann man auch die stereographische Projektion der 3-dimensionalen Sphäre auf den 3-dimensionalen Raum definieren und sich dann das Bild der Clifford-Tori im 3-dimensionalen Raum anschauen. Für den Clifford-Torus mit Gleichung bekommt man zum Beispiel als Bild unter stereographischer Projektion die Fläche mit der Parametrisierung

Die Bilder im R³ werden üblicherweise auch als Clifford-Tori bezeichnet. Man beachte aber, dass die stereographische Projektion natürlich nicht die Metrik erhält: die Metrik der 3-dimensionalen runden Sphäre (mit Krümmung konstant 1) stimmt natürlich nicht mit der Metrik des 3-dimensionalen Raumes (mit Krümmung konstant 0) überein. Insbesondere sind die Clifford-Tori im R³ keine Minimalflächen – können sie auch gar nicht, weil es ja nach dem Maximumprinzip im R³ keine geschlossenen Minimalflächen gibt.

Die Willmore-Energie eines Clifford-Torus ist

und Willmore hatte 1965 vermutet, dass für jeden anderen Torus im R³ die Ungleichung

gilt, die Clifford-Tori also sozusagen die Minimalflächen am nähestenkommenden Tori im R³ sind. Diese Vermutung war lange offen, sie wurde erst vor einem halben Jahr von Fernando Marques und André Neves bewiesen. (Der Beweis ist noch nicht veröffentlicht, scheint aber allgemeine Akzeptanz zu finden. Eine Zusammenfassung des Beweises findet man hier.)
Seit Dienstag gibt es den Beweis auch auf YouTube:

Mehr Henkel

Auch für Flächen höheren Geschlechts (d.h. mit mehreren Henkeln) haben Marques und Neves die Ungleichung
bewiesen, die aber in diesem Fall nicht optimal ist. Auch für Flächen höheren Geschlechts bekommt man (vermutlich) die Flächen minimaler Willmore-Energie durch stereographische Projektion bestimmter Minimalflächen in der 3-dimensionalen Sphäre. (Es handelt sich um die in Prop.6.1. von Lawson 1970 konstruierten Minimalflächen ζ_g,1.) Das wurde jedenfalls 1989 von Kusner vermutet und dann numerisch von Hsu-Kusner-Sullivan getestet, es gibt aber wohl bisher keine ernsthaften Beweisversuche dafür, dass diese Flächen tatsächlich die Willmore-Energie minimieren.

Teil 1, Teil 2, Teil 3, Teil 4, Teil 5, Teil 6, Teil 7 , Teil 8, Teil 9 , Teil 10 ,Teil 11, Teil 12, Teil 13, Teil 14, Teil 15, Teil 16, Teil 17, Teil 18, Teil 19, Teil 20, Teil 21, Teil 22, Teil 23, Teil 24, Teil 25, Teil 26, Teil 27, Teil 28, Teil 29, Teil 30, Teil 31, Teil 32, Teil 33, Teil 34, Teil 35, Teil 36, Teil 37, Teil 38, Teil 39, Teil 40, Teil 41, Teil 42, Teil 43, Teil 44, Teil 45, Teil 46, Teil 47, Teil 48, Teil 49, Teil 50, Teil 51, Teil 52, Teil 53, Teil 54, Teil 55, Teil 56, Teil 57, Teil 58, Teil 59, Teil 60, Teil 61, Teil 62, Teil 63, Teil 64, Teil 65, Teil 66, Teil 67, Teil 68, Teil 69, Teil 70, Teil 71, Teil 72, Teil 73, Teil 74, Teil 75, Teil 76, Teil 77, Teil 78, Teil 79, Teil 80, Teil 81, Teil 82, Teil 83, Teil 84, Teil 85, Teil 86, Teil 87, Teil 88, Teil 89, Teil 90, Teil 91, Teil 92, Teil 93, Teil 94, Teil 95, Teil 96, Teil 97, Teil 98, Teil 99, Teil 100, Teil 101, Teil 102, Teil 103, Teil 104, Teil 105, Teil 106, Teil 107, Teil 108, Teil 109, Teil 110, Teil 111, Teil 112, Teil 113, Teil 114, Teil 115, Teil 116, Teil 117, Teil 118, Teil 119, Teil 120, Teil 121, Teil 122, Teil 123, Teil 124, Teil 125, Teil 126, Teil 127, Teil 128, Teil 129, Teil 130, Teil 131, Teil 132, Teil 133, Teil 134, Teil 135, Teil 136, Teil 137, Teil 138, Teil 139, Teil 140, Teil 141, Teil 142, Teil 143, Teil 144, Teil 145, Teil 146, Teil 147, Teil 148, Teil 149, Teil 150, Teil 151, Teil 152, Teil 153, Teil 154, Teil 155, Teil 156, Teil 157, Teil 158, Teil 159, Teil 160, Teil 161, Teil 162, Teil 163, Teil 164, Teil 165, Teil 166, Teil 167, Teil 168, Teil 169, Teil 170, Teil 171, Teil 172, Teil 173, Teil 174, Teil 175, Teil 176, Teil 177, Teil 178, Teil 179, Teil 180, Teil 181, Teil 182, Teil 183, Teil 184, Teil 185, Teil 186, Teil 187, Teil 188, Teil 189, Teil 190, Teil 191, Teil 192, Teil 193, Teil 194, Teil 195, Teil 196, Teil 197, Teil 198, Teil 199, Teil 200, Teil 201, Teil 202, Teil 203, Teil 204, Teil 205, Teil 206, Teil 207, Teil 208, Teil 209, Teil 210, Teil 211, Teil 212, Teil 213, Teil 214, Teil 215, Teil 216, Teil 217, Teil 218, Teil 219, Teil 220, Teil 221, Teil 222, Teil 223, Teil 224, Teil 225, Teil 226, Teil 227, Teil 228, Teil 229, Teil 230, Teil 231, Teil 232, Teil 233, Teil 234, Teil 235, Teil 236, Teil 237