Im Februar 2012 wurde die Willmore-Vermutung bewiesen. Sie beschreibt, welche Donuts Seifenblasen am nächsten kommen, d.h. die geringste Willmore-Energie haben.

Willmore-Energie

Wir hatten uns hier in der Reihe einige Folgen lang mit Minimalflächen befaßt, u.a. in TvF 233 etwas über die Klassifikation der Minimalflächen im R³ geschrieben (soweit bekannt). Diese Minimalflächen im R³ haben immer “Enden” im Unendlichen, sie sind keine geschlossenen Flächen. Tatsächlich kann es nach dem Maximumprinzip keine geschlossenen Minimalflächen im R³ geben.
Deshalb hatten wir uns letzte Woche gefragt, welche geschlossenen Flächen denn den Minimalflächen “am nächsten kommen”.
Minimalflächen waren ja – per Definition – Flächen, deren mittlere Krümmung H konstant 0 ist. Die naheliegende Verallgemeinerung (oder besser Annäherung) zu Minimalflächen war dann nach Flächen Σ zu suchen, für welche die Willmore-Energie

möglichst klein wird.

Für eine runde Sphäre (von beliebigem Radius) ist die Willmore-Energie W=4π. Wie wir letzte Woche gesehen hatten, kann man mit einem elementaren Beweis zeigen, dass für jede Sphäre und allgemeiner für jede geschlossene Fläche im R³ die Ungleichung

gilt. Die runde Sphäre ist also die geschlossene Fläche mit minimaler Willmore-Energie, sozusagen die einer Minimalfläche am Nähesten kommende geschlossene Fläche.

Was ist für Flächen mit Henkeln, zum Beispiel für Tori? Eine Vermutung von Willmore besagte, dass für Tori die Willmore-Energie immer mindestens 2π² ist. Diese Zahl ist gerade der Wert der Willmore-Energie für sogenannte Clifford-Tori.

Clifford-Tori

Was ist ein Clifford-Torus?

In Teil 234 hatten wir mal über Minimalflächen in der 3-dimensionalen Sphäre

(bzgl. der Metrik mit Schnittkrümmung konstant 1) geschrieben.
Dort hat man Minimal-Tori, die gegeben sind durch die Gleichung

und wie Brendle Anfang 2012 bewiesen hat, bekommt man alle Minimal-Tori in der S³ durch Anwendung von Drehungen und Spiegelungen der S³ aus diesem Beispiel. Man bezeichnet diese Minimal-Tori in der S³ als Clifford-Tori:

Wir interessieren uns in diesem Beitrag aber natürlich für Tori im R³.
In TvF 159 hatten wir mal die stereographische Projektion der Sphäre auf die Ebene definiert, die Bilder unten zeigen die stereographische Projektion der 1-dimensionalen Sphäre auf die 1-dimensionale Gerade und der 2-dimensionalen Sphäre auf die 2-dimensionale Ebene.

Genauso kann man auch die stereographische Projektion der 3-dimensionalen Sphäre auf den 3-dimensionalen Raum definieren und sich dann das Bild der Clifford-Tori im 3-dimensionalen Raum anschauen. Für den Clifford-Torus mit Gleichung bekommt man zum Beispiel als Bild unter stereographischer Projektion die Fläche mit der Parametrisierung

Die Bilder im R³ werden üblicherweise auch als Clifford-Tori bezeichnet. Man beachte aber, dass die stereographische Projektion natürlich nicht die Metrik erhält: die Metrik der 3-dimensionalen runden Sphäre (mit Krümmung konstant 1) stimmt natürlich nicht mit der Metrik des 3-dimensionalen Raumes (mit Krümmung konstant 0) überein. Insbesondere sind die Clifford-Tori im R³ keine Minimalflächen – können sie auch gar nicht, weil es ja nach dem Maximumprinzip im R³ keine geschlossenen Minimalflächen gibt.

Die Willmore-Energie eines Clifford-Torus ist

und Willmore hatte 1965 vermutet, dass für jeden anderen Torus im R³ die Ungleichung

gilt, die Clifford-Tori also sozusagen die Minimalflächen am nähestenkommenden Tori im R³ sind. Diese Vermutung war lange offen, sie wurde erst vor einem halben Jahr von Fernando Marques und André Neves bewiesen. (Der Beweis ist noch nicht veröffentlicht, scheint aber allgemeine Akzeptanz zu finden. Eine Zusammenfassung des Beweises findet man hier.)
Seit Dienstag gibt es den Beweis auch auf YouTube:

Mehr Henkel

Auch für Flächen höheren Geschlechts (d.h. mit mehreren Henkeln) haben Marques und Neves die Ungleichung
bewiesen, die aber in diesem Fall nicht optimal ist. Auch für Flächen höheren Geschlechts bekommt man (vermutlich) die Flächen minimaler Willmore-Energie durch stereographische Projektion bestimmter Minimalflächen in der 3-dimensionalen Sphäre. (Es handelt sich um die in Prop.6.1. von Lawson 1970 konstruierten Minimalflächen ζ_g,1.) Das wurde jedenfalls 1989 von Kusner vermutet und dann numerisch von Hsu-Kusner-Sullivan getestet, es gibt aber wohl bisher keine ernsthaften Beweisversuche dafür, dass diese Flächen tatsächlich die Willmore-Energie minimieren.

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Fernando C. Marques, André Neves (2012). Min-Max theory and the Willmore conjecture
ArXiv : https://arxiv.org/abs/1202.6036