Topologie von Flächen CCXL

Letzte Woche hatten wir gesehen, dass die nicht-orientierbaren Flächen wie die projektive Ebene oder die Kleinsche Flasche nicht in den 3-dimensionalen Raum eingebettet werden können, jedenfalls nicht ohne Selbstschnitte.

Die nächste Frage ist dann, ob es wenigstens Abbildungen mit möglichst wenigen Selbstschnitten gibt.

Der Fachausdruck für die – nach Einbettungen – nächst-allgemeinere Klasse von Abbildungen ist Immersion – nicht im Sinne der virtuellen Realität, sondern im Sinne der Mathematik: eine Immersion ist eine Abbildung, deren Differential in jedem Punkt injektiv ist.

Zum Beispiel ist jede reguläre Kurve eine Immersion, weil ja nach Definition das Differential nie 0 ist.
< Anschaulich ist eine Immersion eine Abbildung, die lokal eine Einbettung ist, aber global (wie im Bild oben) Selbstschnitte haben kann. Nebenbei bemerkt ist eine injektive Immersion einer kompakten Kurve oder Fläche immer eine Einbettung, für nichtkompakte Kurven oder Flächen gilt das aber nicht, wie das Bild unten aus der Wikipedia zeigt:

(Die Pfeile deuten die Enden des offenen Intervalls an, die Abbildung ist eine injektive Immersion, aber keine Einbettung.)

Die Bilder oben zeigten Immersionen von Kurven in die Ebene, interessanter sind aber natürlich Immersionen von Flächen in den 3-dimensionalen Raum.

Die können Selbstschnitte haben, wo zwei Teile der Fläche sich transversal in einer Kurve schneiden und es kann sogar Tripelpunkte geben, wo 3 Teile der Fläche sich in einem Punkt schneiden.

Lokal sieht das aus wie der Schnittpunkt der 3 Koordinatenebenen:

Ein Beispiel einer immersierten Fläche mit einem solchen Tripelpunkt ist die Boysche Fläche (dazu nächste Woche):

Banchoff bewies 1974, dass für eine Immersion einer geschlossenen Fläche in den R³ die Anzahl der Tripelpunkte modulo 2 mit der Euler-Charakteristik übereinstimmt. D.h. für eine orientierbare Fläche ist die Anzahl der Tripelpunkte stets gerade, für eine nicht-orientierbare stets ungerade. (Insbesondere kann es keine Immersionen nicht-orientierbarer Flächen ohne Tripelpunkte geben. Das liefert einen anderen, wenn auch komplizierteren Beweis für die letzte Woche gezeigte Unmöglichkeit der Einbettung nichtorientierbarer Flächen in den R³. Man kann Banchoff’s Theorem auch so formulieren: die Anzahl der Tripelpunkte modulo 2 ist die 1-te Stiefel-Whitney-Klasse.)

Tatsächlich bewies Banchoff, dass man eine beliebige Immersion einer Fläche in den R³ Schritt für Schritt so abändern kann, dass man am Ende eine Immersion mit keinem (im orientierbaren Fall) oder nur einem (im nicht-orientierbaren Fall) Tripelpunkt erhält. Insbesondere gibt es also für nicht-orientierbare Flächen wie die projektive Ebene eine Immersion mit nur einem Tripelpunkt. Solche Immersionen explizit zu beschreiben ist aber recht schwierig, dazu nächste Woche.

Teil 1, Teil 2, Teil 3, Teil 4, Teil 5, Teil 6, Teil 7 , Teil 8, Teil 9 , Teil 10 ,Teil 11, Teil 12, Teil 13, Teil 14, Teil 15, Teil 16, Teil 17, Teil 18, Teil 19, Teil 20, Teil 21, Teil 22, Teil 23, Teil 24, Teil 25, Teil 26, Teil 27, Teil 28, Teil 29, Teil 30, Teil 31, Teil 32, Teil 33, Teil 34, Teil 35, Teil 36, Teil 37, Teil 38, Teil 39, Teil 40, Teil 41, Teil 42, Teil 43, Teil 44, Teil 45, Teil 46, Teil 47, Teil 48, Teil 49, Teil 50, Teil 51, Teil 52, Teil 53, Teil 54, Teil 55, Teil 56, Teil 57, Teil 58, Teil 59, Teil 60, Teil 61, Teil 62, Teil 63, Teil 64, Teil 65, Teil 66, Teil 67, Teil 68, Teil 69, Teil 70, Teil 71, Teil 72, Teil 73, Teil 74, Teil 75, Teil 76, Teil 77, Teil 78, Teil 79, Teil 80, Teil 81, Teil 82, Teil 83, Teil 84, Teil 85, Teil 86, Teil 87, Teil 88, Teil 89, Teil 90, Teil 91, Teil 92, Teil 93, Teil 94, Teil 95, Teil 96, Teil 97, Teil 98, Teil 99, Teil 100, Teil 101, Teil 102, Teil 103, Teil 104, Teil 105, Teil 106, Teil 107, Teil 108, Teil 109, Teil 110, Teil 111, Teil 112, Teil 113, Teil 114, Teil 115, Teil 116, Teil 117, Teil 118, Teil 119, Teil 120, Teil 121, Teil 122, Teil 123, Teil 124, Teil 125, Teil 126, Teil 127, Teil 128, Teil 129, Teil 130, Teil 131, Teil 132, Teil 133, Teil 134, Teil 135, Teil 136, Teil 137, Teil 138, Teil 139, Teil 140, Teil 141, Teil 142, Teil 143, Teil 144, Teil 145, Teil 146, Teil 147, Teil 148, Teil 149, Teil 150, Teil 151, Teil 152, Teil 153, Teil 154, Teil 155, Teil 156, Teil 157, Teil 158, Teil 159, Teil 160, Teil 161, Teil 162, Teil 163, Teil 164, Teil 165, Teil 166, Teil 167, Teil 168, Teil 169, Teil 170, Teil 171, Teil 172, Teil 173, Teil 174, Teil 175, Teil 176, Teil 177, Teil 178, Teil 179, Teil 180, Teil 181, Teil 182, Teil 183, Teil 184, Teil 185, Teil 186, Teil 187, Teil 188, Teil 189, Teil 190, Teil 191, Teil 192, Teil 193, Teil 194, Teil 195, Teil 196, Teil 197, Teil 198, Teil 199, Teil 200, Teil 201, Teil 202, Teil 203, Teil 204, Teil 205, Teil 206, Teil 207, Teil 208, Teil 209, Teil 210, Teil 211, Teil 212, Teil 213, Teil 214, Teil 215, Teil 216, Teil 217, Teil 218, Teil 219, Teil 220, Teil 221, Teil 222, Teil 223, Teil 224, Teil 225, Teil 226, Teil 227, Teil 228, Teil 229, Teil 230, Teil 231, Teil 232, Teil 233, Teil 234, Teil 235, Teil 236, Teil 237, Teil 238, Teil 239