1,2,…,n-1 funktionieren, gehts dann auch für n? Aus der Schule kennt man die Geschichte mit den Eulerzahlen: die Formel 22n-1+1 liefert die Primzahlen 3,5,17,257 und 65537 und Fermat vermutete, dass sie immer Primzahlen liefere, erst Euler fand die Teilbarkeit von 232+1=424967297 durch 641. Gerade die Zahlentheorie kennt noch viel beeindruckendere Beispiele. Zum Beispiel sind für…
Das Titelbild zeigt einen Teil einer seltsamen Immersion des Torus in den R3 (von Cassidy Curtis). Andererseits hat man natürlich auch die übliche Einbettung des Torus in den R3 und man fragt sich, ob solche verschiedene Immersionen des Torus eigentlich topologisch dieselben sind – so wie (nur mal als Analogie) scheinbar kompliziert aussehende Knoten ja…
Die Stiefel-Mannigfaltigkeit V2(R3) – benannt nach Eduard Stiefel – ist die Menge aller geordneten Paare orthonormaler Vektoren im 3-dimensionalen Vektorraum R3. (Allgemein ist die Stiefel-Mannigfaltigkeit Vk(Rn) die Menge der geordneten k-Tupel orthonormaler Vektoren im n-dimensionalen Vektorraum Rn.) Immersionen des Kreises und π1(V1(R2)) Vor 2 Wochen hatten wir gesehen, wie man die regulären Homotopieklassen regulärer Kurven…
Egal, wie verschrumpelt eine Sphäre ist, man kann sie wieder rundmachen – das bewies Steven Smale 1957. Das Video “Turning the sphere inside out” (vor 3 Wochen verlinkt) zeigte die Umstülpung der Sphäre, also wie man eine die Sphäre so verformt, dass innen und aussen vertauscht werden. Die Umstülpbarkeit der Sphäre ist natürlich ein Spezialfall…
Die Sphäre im Titelbild ist nicht “immersiert”: am Äquator sind die Ableitungen (in horizontaler Richtung) alle Null. Solche Spitzen entstehen scheinbar zwangsläfig, wenn man versucht eine Sphäre umzustülpen. Wir hatten letzte Woche ein Originalvideo aus den 70er Jahren verlinkt, in welchem Pugh (unter anderem mit Smale) die Umstülpung der Sphäre erklärten. Es ging um die…
Boy-Flächen, wie wir sie in den letzten Folgen beschrieben hatten, sind zwar seit Beginn des 20. Jahrhunderts bekannt, aber erst seit Ende der 70er hat man analytische Formeln. Die wurden ursprünglich in Zusammenhang mit einem anderen Problem entdeckt, nämlich der Eversion (Umstülpung) der Sphäre, oft popularisiert unter dem Schlagwort “Turning the sphere inside out”. Dabei…
Boy-Flächen nennt man Immersionen der projektiven Ebene in den 3-dimensionalen Raum, sie sind ein beliebtes Thema für Videos, Animationen, Modelle und Skulpturen (z.B. vor der Universität Cagliari oder dem MFO). Letzte Woche hatten wir uns Steiner-Flächen angesehen, das waren Abbildungen (mit gewissen Singularitäten) der projektiven Ebene in den 3-dimensionalen Raum, die gelegentlich auch Römerflächen genannt…
Wie zeichnet man eine projektive Ebene mit möglichst wenigen Überschneidungen in unseren 3-dimensionalen Raum? Vor 2 Wochen hatten wir gesehen, dass sich nicht-orientierbare geschlossene Flächen wie die Kleinsche Flasche oder die projektive Ebene nicht in den R3 einbetten lassen. Es gibt aber natürlich Abbildungen dieser Flächen mit Selbstschnitten. Ein oft gezeigtes Bild einer im R3…
Letzte Woche hatten wir gesehen, dass die nicht-orientierbaren Flächen wie die projektive Ebene oder die Kleinsche Flasche nicht in den 3-dimensionalen Raum eingebettet werden können, jedenfalls nicht ohne Selbstschnitte. Die nächste Frage ist dann, ob es wenigstens Abbildungen mit möglichst wenigen Selbstschnitten gibt. Der Fachausdruck für die – nach Einbettungen – nächst-allgemeinere Klasse von Abbildungen…
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