Das Möbiusband – nicht nur das einfachste Beispiel einer nicht-orientierbaren Fläche (letzte Woche), auch das einfachste Beispiel eines “getwisteten” Bündels von Geraden (nächste Woche) und einfach eine Zusammenfassung aller Geraden in der Ebene.
Mit Geraden in der Ebene meinen wir Geraden durch den Nullpunkt, formal also: 1-dimensionale Untervektorräme des R2.
Wenn man diese Geraden zusammenfasst, “benachbarte” (d.h. nahe beieinander liegende) Geraden wieder nahe beeinander liegen läßt, dann bekommt man – das Möbiusband:
Der Twist des Möbiusbandes kommt dadurch zustande, dass man bei einmaligem Durchlaufen wieder zur selben Gerade zurückkommt, allerdings sich jetzt auf der anderen Seite des Nullpunktes befindet. (Wenn man sich in der Ebene auf dem Einheitskreis um den Nullpunkt bewegt, dann ist man schon nach 180o wieder auf derselben Gerade, wenn auch im entgegengesetzten Punkt.)
Der Kern des Möbiusbandes (violett im Bild unten) entspricht gerade den Mittelpunkten der Geraden, d.h. dem Nullpunkt in der Ebene.
Wir haben also sozusagen den Nullpunkt der Ebene “aufgelöst” und durch einen Kreis ersetzt, die Ebene wurde dadurch zum Möbiusband.
Letzteres ist eine Konstruktion, die man in der Algebraischen Geometrie ständig benutzt, um Singularitäten aufzulösen. Ein Beispiel (Quelle), in dem die Singularität einer ebenen Kurve aufgelöst wird:
In Formeln heißt das, dass man einen neuen Parameter t=y/x einführt. Aus
wird
Innerhalb des Möbiusbandes bekommt man also die Parabel x=t2-1. (Hier die Rechnungen zu den Bildern.)
Formal ist die Auflösung einer Singularität ein eigentlicher, birationaler Morphismus von einer nichtsingulären Varietät auf die singuläre Varietät (“birational” heißt, dass die Funktionenkörper der beiden Varietäten isomorph sind), das Urbild der Singularität heißt exzeptioneller Divisor. (Im Fall des Möbiusbandes war der Mittelkreis der exzeptionelle Divisor.) Singularitäten von reellen oder komplexen Varietäten lassen sich immer auflösen (Hironaka) durch wiederholtes Aufblasen von Punkten oder Kurven, also die oben beschriebene Methode und ihre höherdimensionalen Verallgemeinerungen.
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