Topologie von Flächen CCLIX

Viele Bündel in einem großen Bündel wiederzufinden funktioniert nicht bloß bei Landwirtschaftlern oder Herstellern von Kameraausrüstungen (das Video zum Bild unten ist hier), sondern auch ganz universell.

Es gibt ein universelles Geradenbündel, indem man in gewisser Weise jedes andere Geradenbündel wiederfinden kann (jedenfalls in dem Sinne, dass man jedes andere Geradenbündel durch Zurückziehen aus dem universellen Bündel bekommt). Dieses Bündel hatten wir vor 2 Wochen definiert, seine Basis ist der (die Menge aller 1-dimensionalen Unterräme des ) und über jedem Punkt des ist die entsprechende Gerade des angeheftet (das Bündel ist also eine Teilmenge von ).
Das klingt natürlich alles ziemlich unendlich-dimensional, aber für ‘praktische’ Zwecke braucht man immer nur endlich-dimensionale Teile der Konstruktion. Wenn man etwa die Konstruktion für 2-dimensionale Geradenbündel, also Geradenbündel über dem Kreis, veranschaulichen will, kann man sich auf beschränken, d.h. auf das Bündel mit (das war die Menge der Geraden durch 0 im ) als Basis, und der entsprechenden Gerade im über jedem Punkt.

Als ein Beispiel hatten wir letzte Woche beschrieben, wie man die Gauß-Abbildung aus der Differentialgeometrie als klassifizierende Abbildung des Normalenbündels ansehen kann.

Ähnlich elementar kann man das noch für zwei andere einfache Beispiele von Geradenbündeln vorführen, nämlich die beiden Geradenbündel über dem Kreis : den Zylinder und das Möbiusband, die wir uns mal als Teilmenge von denken.

Die klassifizierende Abbildung bildet jeden Punkt der Basis auf den der über ihr liegenden Gerade im entsprechenden Punkt im ab.

Man “sieht”, dass im Fall des Kreiszylinders die Abbildung f einfach konstant ist: über jedem Punkt hat man die Gerade {x=0}.

Wie kann man die Abbildung f beim Möbiusband beschreiben? Wenn man den Basis-Kreis 1-mal durchläuft, dann hat man über dem Punkt natürlich wieder dieselbe Gerade, aber sozusagen mit umgekehrter Richtung. Um das mathematischer zu beschreiben, parametrisieren wir die Punkte des Kreises durch den Winkel φ (mit $latex 0\le\phi<2\pi$), dann hat man über dem Punkt φ die Gerade mit Anstiegswinkel - so dass man nacheinmaligem Durchlaufen () wieder in derselben Gerade landet, wenn auch mit umgekehrter Richtung. Die Abbildung ist also dadurch gegeben, dass man bei einmaligem Durchlaufen des Kreises auch einmal durchläuft.

Nun kann man andererseits auf kanonische Weise mit dem Kreis identifizieren: man betrachte die Abbildung des Einheitskreises (in der komplexen Zahlenebene) auf sich:

(einfarbige Stücke oben entsprechen einfarbigen Stücken unten), der Quotient ist . Aber der Quotient ist natürlich auch ein Kreis, denn man erhält ihn aus einem Intervall durch Identifizieren der Endpunkte.
Nachdem man auf diese Weise mit einem Kreis identifiziert hat, entspricht die Abbildung einfach der Identität.

Zusammenfassend: für den Kreiszylinder ist die klassifizierende Abbildung konstant, für das Möbiusband ist sie die Identitätsabbildung.

Die Stiefel-Whitney-Klassen definiert man - wie vor 2 Wochen diskutiert - durch Zurückziehen der universellen Stiefel-Whitney-Klasse mittels der klassifizierenden Abbildung f. Im Falle des Kreiszylinders ist f konstant, die induzierte Abbildung in Kohomologie also 0, deshalb ist w₁=0. Im Falle des Möbiusbandes ist f die Identität, die induzierte Abbildung in Kohomologie also ein Isomorphismus, deshalb ist w₁ das nichttriviale Element in .
Insbesondere unterscheiden die Stiefel-Whitney-Klassen diese beiden Geradenbündel über dem Kreis.

Teil 1, Teil 2, Teil 3, Teil 4, Teil 5, Teil 6, Teil 7 , Teil 8, Teil 9 , Teil 10 ,Teil 11, Teil 12, Teil 13, Teil 14, Teil 15, Teil 16, Teil 17, Teil 18, Teil 19, Teil 20, Teil 21, Teil 22, Teil 23, Teil 24, Teil 25, Teil 26, Teil 27, Teil 28, Teil 29, Teil 30, Teil 31, Teil 32, Teil 33, Teil 34, Teil 35, Teil 36, Teil 37, Teil 38, Teil 39, Teil 40, Teil 41, Teil 42, Teil 43, Teil 44, Teil 45, Teil 46, Teil 47, Teil 48, Teil 49, Teil 50, Teil 51, Teil 52, Teil 53, Teil 54, Teil 55, Teil 56, Teil 57, Teil 58, Teil 59, Teil 60, Teil 61, Teil 62, Teil 63, Teil 64, Teil 65, Teil 66, Teil 67, Teil 68, Teil 69, Teil 70, Teil 71, Teil 72, Teil 73, Teil 74, Teil 75, Teil 76, Teil 77, Teil 78, Teil 79, Teil 80, Teil 81, Teil 82, Teil 83, Teil 84, Teil 85, Teil 86, Teil 87, Teil 88, Teil 89, Teil 90, Teil 91, Teil 92, Teil 93, Teil 94, Teil 95, Teil 96, Teil 97, Teil 98, Teil 99, Teil 100, Teil 101, Teil 102, Teil 103, Teil 104, Teil 105, Teil 106, Teil 107, Teil 108, Teil 109, Teil 110, Teil 111, Teil 112, Teil 113, Teil 114, Teil 115, Teil 116, Teil 117, Teil 118, Teil 119, Teil 120, Teil 121, Teil 122, Teil 123, Teil 124, Teil 125, Teil 126, Teil 127, Teil 128, Teil 129, Teil 130, Teil 131, Teil 132, Teil 133, Teil 134, Teil 135, Teil 136, Teil 137, Teil 138, Teil 139, Teil 140, Teil 141, Teil 142, Teil 143, Teil 144, Teil 145, Teil 146, Teil 147, Teil 148, Teil 149, Teil 150, Teil 151, Teil 152, Teil 153, Teil 154, Teil 155, Teil 156, Teil 157, Teil 158, Teil 159, Teil 160, Teil 161, Teil 162, Teil 163, Teil 164, Teil 165, Teil 166, Teil 167, Teil 168, Teil 169, Teil 170, Teil 171, Teil 172, Teil 173, Teil 174, Teil 175, Teil 176, Teil 177, Teil 178, Teil 179, Teil 180, Teil 181, Teil 182, Teil 183, Teil 184, Teil 185, Teil 186, Teil 187, Teil 188, Teil 189, Teil 190, Teil 191, Teil 192, Teil 193, Teil 194, Teil 195, Teil 196, Teil 197, Teil 198, Teil 199, Teil 200, Teil 201, Teil 202, Teil 203, Teil 204, Teil 205, Teil 206, Teil 207, Teil 208, Teil 209, Teil 210, Teil 211, Teil 212, Teil 213, Teil 214, Teil 215, Teil 216, Teil 217, Teil 218, Teil 219, Teil 220, Teil 221, Teil 222, Teil 223, Teil 224, Teil 225, Teil 226, Teil 227, Teil 228, Teil 229, Teil 230, Teil 231, Teil 232, Teil 233, Teil 234, Teil 235, Teil 236, Teil 237, Teil 238, Teil 239, Teil 240, Teil 241, Teil 242, Teil 243, Teil 244, Teil 245, Teil 246, Teil 247, Teil 248, Teil 249, Teil 250, Teil 251, Teil 252, Teil 253, Teil 254, Teil 255, Teil 256, Teil 257, Teil 258