Topologie von Flächen CCLXX

Anlaß dieser Reihe war ja ursprünglich mal der Beweis der Poincaré- und Thurston-Vermutung durch Perelman gewesen.

Nachdem wir nun über 269 Folgen den Nutzen der Geometrisierung am Beispiel der Flächen erörtert haben, fehlt jetzt zum Abschluß der Reihe natürlich noch die Vorstellung der eigentlichen Beweisidee – wieder am Beispiel der Flächen.

Während die von Perelman bewiesene 3-dimensionale Geometrisierungsvermutung ja eine etwas kompliziertere Formulierung hat (jede 3-Mannigfaltigkeit kann in Stücke zerlegt werden, die lokal-homogene Metriken tragen), ist die Formulierung für Flächen recht klar: jede Fläche trägt Metriken konstanter Krümmung.

Ein im Nachhinein sicher recht plausibler Beweisansatz dafür: man starte mit irgendeiner Metrik und lasse die Fläche dann mittels einer geschickt gewählten Differentialgleichung so fließen, dass sie in eine Metrik konstanter Krümmung fließt.

Das Video zeigt die Entwicklung von Kurven unter der Gleichung , wobei der nach außen zeigende Normalenvektor und die Krümmung der Kurve in s ist. Die Kurve konvergiert letztlich gegen eine Kurve konstanter Krümmung.

Der Fluß im Video benutzt die Krümmung der in der Ebene eingebetteten Kurven, auf ähnliche Weise kann man einen Fluß für im Raum eingebettete Flächen definieren.
Nun gibt es natürlich nach dem Satz von Hilbert außer der Sphäre keine Flächen konstanter Krümmung im 3-dimensionalen Raum. Insofern ist es von vornherein hoffnungslos, Flächen im Raum so fließen lassen zu wollen, daß ihre Krümmung konstant wird.

Was man stattdessen machen kann: man läßt nicht die Fläche, sondern die Metrik fließen, d.h. betrachtet einen Fluß auf dem Raum aller Riemannschen Metriken (zu einer gegebenen Fläche oder Mannigfaltigkeit). Der dabei letztlich erfolgreiche Ansatz geht auf Hamilton zurück und heißt Ricci-Fluß, weil er die Ricci-Krümmung benutzt: oder in normalisierter Form , wobei n die Dimension und r der Mittelwert der Skalarkrümmung ist.

Der Unterschied zwischen normalisiertem und unnormalisiertem Fluß ist, daß beim unnormalisierten Fluß Flächen positiver Krümmung sich auf einen Punkt zusammenziehen, während Flächen negativer Krümmung sich immer weiter ausdehnen:

Beim normalisierten Fluß hingegen konvergiert der Fluß gegen eine Einstein-Metrik (d.h. eine Metrik konstanter Ricci-Krümmung), wenn er denn konvergiert.

Für Flächen ist die Ricci-Krümmung einfach 1/2 mal “die” Krümmung der Fläche K (die für Flächen im Raum gerade die Gauß-Krümmung ist). Den Mittelwert der Krümmung kann man mit Gauß-Bonnet berechnen er ist , hängt also nicht von der Metrik ab. Der normalisierte Ricci-Fluß hat dann die Form
.
Wenn der Fluß für t gegen Unendlich gegen eine Metrik konvergiert, dann muß für diese sein, also muß K in jedem Punkt gleich sein. Der Fluß konvergiert also, wenn er konvergiert, gegen eine Metrik konstanter Krümmung. Um zu beweisen, daß es eine Metrik konstanter Krümmung gibt, muß man also “nur” beweisen, daß der Fluß konvergiert.

Im Fall von Flächen funktioniert das letztlich auch. In höheren Dimensionen ist es aber komplizierter, wie die folgenden Bilder (aus John Lotts Laudatio zur Fieldsmedaille für Perelman) andeuten sollen:
im allgemeinen kann es passieren, daß die Krümmung in einem Teil der Mannigfaltigkeit gegen Unendlich geht, sich also während des Flusses Teile der Mannigfaltigkeit “abschnüren”,:

Man muß dann eine “Chirurgie” durchführen und die einzelnen Teile weiterfließen lassen:

Letztlich bekommt man im 3-dimensionalen Fall das gewünschte Bild, die Zerlegung der 3-Mannigfaltigkeit in hyperbolische Stücke und Graphmannigfaltigkeiten:

Für Flächen ist aber alles einfacher: der Ricci-Fluß fließt unendliche lange Zeit – ohne daß die Krümmung an einzelnen Stellen gegen Unendlich geht – und er konvergiert letztlich, natürlich gegen eine Metrik konstanter Krümmung. Das liefert also noch einmal einen Beweis des Uniformisierungssatzes und zeigt, daß es auf jeder Fläche mit mindestens 2 Henkeln hyperbolische Metriken gibt. Was sich im Falle von Flächen natürlich auch einfacher beweisen ließ, siehe TvF 69. Aber der Ricci-Fluß-Beweis ist eben der Ansatz, der dann auch in Dimension 3 zum Beweis der Geometrisierungsvermutung führte, deren Anwendungen für Flächen das Thema dieser Reihe waren.