Die Goldbachvermutung besagt, dass man jede gerade Zahl als Summe zweier Primzahlen darstellen könne, mit Ausnahme der 2 natürlich:
4=2+2
6=3+3
8=3+5
10=3+7 oder 5+5
12=5+7 etc.

Goldbach hatte 1742 eigentlich nicht diese, sondern eine schwächere Vermutung aufgestellt, nämlich dass sich jede ungerade Zahl n größer 5 als Summe dreier Primzahlen darstellen lasse. Diese Vermutung würde aus der anderen folgen, weil man erst die gerade Zahl n-3 als Summe zweier Primzahlen zerlegen und dann 3 als dritte Primzahl addieren könnte.

Während die erste (stärkere) Vermutung nach wie vor weit offen ist, war die schwächere Variante schon 1937 von Winogradow immerhin für alle n>106800000 bewiesen worden. Der Beweis wurde später noch verfeinert, so dass man einen Beweis für alle n>101346 bekam. Diese Zahl ist aber immer noch viel zu groß als dass man einfach für die verbleibenden kleineren Zahlen die Richtigkeit von Hand (mit Computer) überprüfen könnte.

Am Montag hat der in Paris arbeitende peruanische Mathematiker Harald Helfgott eine 133 Seiten lange Arbeit auf das ArXiv gestellt, in der die schwächere Variante der Goldbachvermutung für alle n>1030 bewiesen wird. Der Beweis benutzt die Hardy-Winogradow-Littlewood-Kreismethode. Weil man für alle kleineren Zahlen die Goldbachvermutung schon mit Computerhilfe verifiziert hatte, beweist das dann die schwache Version der Goldbachvermutung.

Es gibt noch ein anderes Problem über Primzahlen, das diese Woche einige Aufmerksamkeit fand. Es geht um die Frage nach der Existenz unendlich vieler Primzahlzwillinge, d.h. Paaren von Primzahlen mit Differenz 2. Dieses Problem ist zwar weiter offen, Yitang Zhang hat aber in einer bei “Annals of Mathematics” eingereichten Arbeit bewiesen, dass es unendlich viele Paare von Primzahlen mit Differenz kleiner 70000000 gibt. Der Beweis benutzt eine Verbesserung der Bombieri-Winogradow-Ungleichung. Nature berichtet auf ihrer Webseite.

Kommentare (16)

  1. #1 ich
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    18. Mai 2013

    Als Laie stellt man sich dann natürlich die Frage, warum es einfacher ist einen Beweis für n > 10^6800000 zu entwerfen, als einen für beispielsweise n < 10^6800000. Naiv hätte ich ja gedacht, dass solche Beweise eher "einfacher" sind bis zu einer endlichen Grenze, als ab einer endlichen Grenze bis zum Unendlichen.

  2. #2 MX
    18. Mai 2013

    Und als Laie fragt man sich auch, ob es eine Katzengoldbach-Vermutung gibt, nach der jede gerade Zahl als Differenz zweier Primzahlen dargestellt werden kann.

  3. #3 Snoek
    K-Raum
    18. Mai 2013

    Da es so schön zum Thema passt. Ich bin vor einigen Monaten immer wieder über George Spencer-Brown und seine “Laws of Form” (LoF) gestoßen. Das Buch wird ja gerade bei soziologischen Systemtheoretikern (bei Luhmann und seinen Schülern, etwa Dirk Baecker) fast wie eine zweite Bibel behandelt.

    Und ich finde das Büchlein ja auch ganz amüsant, aber ich würde dann doch etwas stutzig dabei, dass Spencer-Browns (GSB) aktuelle Ausgabe damit beworben wird, sie enthalte einen Beweis der Riemannschen Vermutung (der natürlich von der Fachwelt nicht akzeptiert wird – yadda, yadda – man weiß ja wie solche Argumentationen weitergehen).

    Ich habe zu “Laws of Form” nur relativ alte Reviews gefunden (Journal of Symbolic Logic etwa), die meist zum Fazit kommen, es handle sich bei GSBs Büchlein um eine originelle Notationsform, ansonsten sei es eben Boolesche Algebra in netter Verpackung. Die älteren Foreneinträge, die man in Mathematikforen dazu findet, bezeichnen GSB eher als Crank und LoF als Crackpot-Science. Andererseits scheint Louis H. Kauffman, der ja als Matehmatiker durchaus bekannt sein soll, ein Fan des Buches zu sein und hat schon mehrmals dazu kleine Paper publiziert.

    Wenn man nach Spencer-Brown googelt landet man entweder im hymnischen Lobgesang (inkl. viel Esoterikmüll) oder wieder bei Wikipedia. Die deutschen Monographien, die zu dem Buch erschienen sind, sind leider auch mehr Werbung als eine intensive wissenschaftliche Auseinandersetzung. Für einen mathematischen Laien ist das schon merkwürdig: Die großen “Zauberer” *hüstl* der soziologischen Systemtheorie und die Kybernetiker (was wurde eigentlich aus dem ganzen Hype?) sprechen bei GSB von einem Heiligen, ansonsten findet man nicht viel außer leisen “Crank!”-Rufen.

    Kennt jemand gute Aufsätze in Fachzeitschriften, die sich mit den LoF bzw. einer sytematischen Kritik beschäftigen? Das ist doch eine absurde Situation. Auf der einen Seite hat man mit Niklas Luhmann einen bekannten deutschen Soziologen des 20. Jahrhunderts, der sich immer wieder auf dieses Büchlein beruft, zugleich ist dieses Buch, das sich mit Logik in grafischen Notationsformen beschäftigt, bei Mathematikern entweder unbekannt oder wohl eher verschrien, Kann da jemand für mich etwas Licht ins Dunkel bringen?

  4. #4 MartinB
    18. Mai 2013

    Da ist irgendwie ein Textsatz-Fehler, fehlt da eine Potenz bei 10 hoch 10 hoch 34 (bei mir steht jedenfalls 10 hoch 1034 auf dem Schirm, das wäre etwas kleiner als 10 hoch 68000000)

  5. #5 Thilo
    18. Mai 2013

    Es ist schon 10 hoch 1034 gemeint. Der Punkt ist, dass Helfgott die Vermutung für alle Zahlen oberhalb einer sehr viel kleineren Schranke als seine Vorgänger bewiesen hat. Für die verbleibenden kleineren Zahlen kann man die Vermutung direkt per Computer überprüfen bzw. hat das in der Vergangenheit bereits getan. Die vorige Schranke war viel zu groß als das man eine Überprüfung der verbleibenden Zahlen von Hand oder mit Computerhilfe hätte denken können.

  6. #6 Enkrod
    18. Mai 2013

    @MartinB: Richtig, 10 hoch 1034 ist kleiner als 10 hoch 68000000, da es aber um alle n KLEINER 10 hoch 1034 geht ist das ja auch besser als alle n < 10 hoch 68000000. Ich hab's auch zweimal lesen müssen.

  7. #7 volki
    18. Mai 2013

    Ich möchte nur kurz einwerfen, dass das Ergebnis eigentlich in 3 Papers bewiesen wird. Die Hardy-Winogradow-Littlewood-Kreismethode besteht aus 2 Stücken der Abschätzung der sogenannten Major Arcs und der Abschätzung der Minor Arcs.

    Helfgott hat vor nicht ganz einam Jahr die Abschätzung für die Minor Arcs geliefert nun ist ihm auch die Abschätzung für die Major Arcs gelungen.

    Die dritte wichtige Arbeit ist von Helfgott und Platt. Die haben es dann durch viel Rechenpower geschafft auch wirklich alle Fälle bis 10^30 zu überprüfen. Das war vorher auch unbekannt.

    Also alles in allem über 200 Seiten Beweis in 3 Papers.

  8. #8 vuvL
    25. Mai 2013

    779466 792741Hey, are you having issues along with your hosting? I necessary to refresh the page about million times to get the page to load. Just saying 188232

  9. #9 My Homepage
    25. Mai 2013

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  10. #10 โชคดี
    3. Juni 2013

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  12. #12 Palmer
    10. Juni 2013

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  13. #13 rolak
    31. Dezember 2013

    xkcd teilt einen Goldbach in sechs Goldbächlein.

  14. #14 Thilo
    31. Dezember 2013

    Zum “Satz des Jahres 2013” wollte ich morgen sowieso was schreiben, das paßt ja dann.

  15. […] zweiten Vortrag ging es zunächst um die Unendlichkeit der Primzahlen und die neuen Fortschritte zu Primzahlzwillingen, dann um die Bedeutung von Primzahlen bei der Verschlüsselung von Passwörtern im Internet, also […]