“Primzahlen sind zum Multiplizieren und nicht zum Addieren da”, so (oder ähnlich) geht ein bekanntes Zitat, dessen Urheber und Quelle mir leider entfallen sind. Nun stimmte das schon länger nicht mehr, denn das 2004 bewiesene Green-Tao-Theorem – ein Satz über die Existenz beliebig langer arithmetischer Folgen in Zahlenmengen logarithmischer Dichte – wurde gerne mit dem Beispiel der Primzahlen veranschaulicht, die wegen dieses Satzes beliebig lange arithmetische Folgen enthalten. Egal, ob man diese Anwendung wichtig findet – die Methoden zum Beweis der (allgemeineren) Behauptung gelten auf jeden Fall als wichtig und grundlegend. Und Mathematiker bewerten die Interessantheit von Sätzen oft eher nach der Relevanz der beim Beweis verwendeten Methoden als nach der der Anwendungen.
Jedenfalls waren es im Jahr 2013 zwei klassische Vermutungen über das Addieren bzw. Subtrahieren von Primzahlen, die die meiste Aufmerksamkeit erregten: zum einen die bereits als Satz des Jahres apostrophierte Frage nach den “bounded gaps” zwischen Primzahlen (im optimistischsten Fall der Existenz unendlich vieler Primzahlzwillinge) und zum anderen die Goldbachvermutung, die dann auch konsequenterweise das Thema beim letzten xkcd des Jahres wird:
Die Goldbachvermutung besagt, dass jede gerade Zahl (außer 2) als Summe zweier Primzahlen geschrieben werden kann: 4=2+2, 6=3+3, 8=3+5, 10=3+7, 12=5+7 und so weiter fort bis (fast) ins Unendliche. Die schwächere Variante besagt, dass jede ungerade Zahl (außer 1,3,5) als Summe dreier Primzahlen geschrieben werden kann. Diese Variante folgt natürlich aus der stärkeren, weil man zu einer in zwei Primzahlen zerlegten geraden Zahl immer noch die Primzahl 3 addieren kann. Die anderen Behauptungen im xkcd sind entweder Unsinn (auf der rechten Seite) oder trivial (auf der linken). Die schwache Goldbach-Vermutung ist in diesem Jahr möglicherweise bewiesen worden, jedenfalls hat Helfgott im Mai einen Preprint mit einem Beweis eingereicht. (Wir hatten hier kurz darüber geschrieben.)
Noch größere Aufmerksamkeit hatten dieses Jahr die “Lücken zwischen Primzahlen”, eine verwandte, wenn auch wohl nicht direkt mit der Goldbachvermutung zusammenhängende Fragestellung, bei der die stärkstmögliche Vermutung einfach besagt: es gibt unendlich viele Primzahlzwillinge, also unendlich viele Primzahlpaare mit Abstand 2 wie 3/5 oder 5/7 oder 11/13 oder 17/19.
Innerhalb weniger Monate hat es bei dieser aus dem Jahr 1849 stammenden Vermutung enorme Fortschritte gegeben. Da war zunächst in einer bei Annals of Mathematics angenommenen Arbeit von Yitang Zhang bewiesen worden, dass es unendlich viele Primzahlpaare mit Abstand höchstens 70000000 gibt. (In Wirklichkeit hatte er einen etwas besseren Wert für den Abstand bewiesen, die 70 Millionen waren nur eine griffige runde Zahl. Laut Lewko soll Zhangs Beweis eigentlich 63374611 ergeben.) Innerhalb weniger Tage nach Erscheinen von Zhangs Arbeit wurde dann von verschiedenen Autoren gezeigt, dass man mit deren Methoden bessere Werte als 70 Millionen bekommen kann: Trudgian verbesserte den Wert in einer 2-Seiten-Arbeit auf 60 Millionen und ein Beitrag vom 3.Juni auf “What’s New” ergab sogar 4,802222 Millionen. Am 4.Juni startete dann ein Polymath-Projekt mit dem Ziel, diesen Wert weiter zu verbessern. Das gelang auch innerhalb von 2 Monaten mit einer Verbesserung auf 5414, später auf 4860: A NEW BOUND FOR GAPS BETWEEN PRIMES by D. H. J. Polymath. Der spektakulärste Durchbruch kam dann aber nicht vom Polymath-Projekt, sondern im November von John James Maynard: Small gaps between primes reduzierte den Wert auf 600 (und unter der Annahme der Richtigkeit der Elliott-Halberstam-Vermutung auf 12). Terence Tao nahm dies prompt zum Anlaß, ein neues Polymath-Projekt zu starten und nach aktuellem Stand kann dieses den bewiesenen Wert wohl auf 272 verbessern, man hätte dann also unendlich viele Primzahlpaare im Abstand höchstens 272. Man nähert sich langsam dem Wert 2, der klassischen Vermutung mit den unendlich vielen Primzahlzwillingen.
Kommentare (13)