Von Thilo / 19. Januar 2014 / 68 Kommentare

Ein Leser hat mich per Mail auf diesen Artikel zum vorletzten Video der Numberphile-Reihe
hingewiesen, in dem die angeblich in der Stringtheorie verwendete (?) Identität “bewiesen” wird.

Wer schon mal eine Erstsemestervorlesung zur Mathematik gehört (oder solche Definitionen noch im Abitur gelernt hat) wird natürlich den Fehler im Beweis sofort erkennen: es ist das Herumrechnen mit divergenten Reihen, mit dem man, wenn man sich (un)geschickt anstellt, praktisch jeden Unsinn beweisen kann – was im Video leider zu erklären versäumt wurde. Zum Beispiel kann man eine konvergente, aber nicht absolut konvergente, Reihe wie durch passende Umordnung der Summanden jeden reellen Wert annehmen lassen.

Nun haben in der Geschichte Mathematiker durchaus solche Rechnungen benutzt, um damit völlig richtige Ergebnisse zu erhalten, Leonhard Euler etwa galt als Meister im Rechnen mit divergenten Reihen, der offenbar immer genau wußte, welche Rechnungen zu korrekten Ergebnissen führen und welche nicht. Anfang des 19. Jahrhunderts begann man solche Beweise in Zweifel zu ziehen, exemplifiziert am Zitat von Niels Henrik Abel

The divergent series are the invention of the devil, and it is a shame to base on them any demonstration whatsoever. By using them, one may draw any conclusion he pleases and that is why these series have produced so many fallacies and so many paradoxes …

In den 1820er Jahren wurde dann das Rechnen mit unendlichen Reihen auf eine klar definierte mathematische Grundlage gestellt, wie man sie heute im Analysis-Grundkurs lernt, und die Mathematiker verlernten das Rechnen mit divergenten Reihen. (Ausnahme: Ramanujan.)

Wie gesagt kann man durch geschicktes Umordnen divergenter Reihen praktisch jede mathematische Identität beweisen. Warum die “Identität” trotzdem eine besondere Rolle spielt, das hat eine andere Ursache: die Riemannsche Zeta-Funktion.

Riemannsche Zeta-Funktion

Wenn s eine komplexe Zahl mit Realteil ist, dann konvergiert die unendliche Reihe
,
zum Beispiel ist (siehe Mathematische Hausnummer).
Man kann zeigen, dass die Funktion komplex differenzierbar ist (im Bereich ).

Nun ist es ein allgemeines Prinzip, dass man eine auf einer offenen Teilmenge der Ebene definierte komplex-differenzierbare Funktion (unter gewissen Voraussetzungen) analytisch fortsetzen kann, so dass man eine auf der ganzen Ebene (mit Ausnahme einzelner isolierter Singularitäten) definierte komplex-differenzierbare Funktion erhält. Im Fall von definiert diese analytische Fortsetzung die sogenannte Riemannsche Zeta-Funktion, für die sich Riemann seinerzeit wegen ihrer Anwendungen auf die Primzahlverteilung interessiert hatte (siehe 150 Jahre Riemann-Vermutung).

Wie die Reliefkarte (aus der Sammlung des Göttinger Mathematischen Instituts) zeigt, hat die Zeta-Funktion eine einzige Singularität in , Nullstellen in -2,-4,-6,… und wahrscheinlich liegen alle weiteren Nullstellen auf der Geraden . (Letzteres ist die berühmte Riemann-Vermutung, eines der Millenium-Probleme, auf deren Lösung das Clay-Institut 1 Million Dollar ausgesetzt hat.)

1+2+3+4+5+… = -1/12

Den Wert der Riemannschen Zeta-Funktion für s=-1 kann man ausrechnen. Es gibt nämlich eine Funktionalgleichung

(wobei Γ die Gamma-Funktion ist).
Wenn man s= -1 einsetzt, erhält man
.
Wegen (Basler Problem) und , also , folgt daraus

Nun war ja die Riemannsche Zeta-Funktion eigentlich (für Re(s)>1) mal definiert als

und wenn man da formal s=-1 einsetzt, bekommt man

Der Punkt ist natürlich, dass ζ(s) eben nur für Re(s)>1 auf diese Weise definiert war, für andere Werte von s divergiert die Reihe und der Wert der analytischen Fortsetzung hat nichts mit dem (nicht existenten) Wert der unendlichen Reihe zu tun.

Mit Dank an Roland K. für den Hinweis auf das Video

Kommentare (68)

#1 rolak
19. Januar 2014

der offenbar immer genau wußte, welche Rechnungen zu korrekten Ergebnissen führen und welche nicht.

Genau das stellte für mich einen der faszinierendsten Aspekte des Physikstudiums dar: Der burschikose Umgang mit der Mathematik. Ob jetzt numerisch Unangenehmes aus komplexen Gleichungen weggelassen wurde; ob der Schwierigkeitsgrad der Lösung davon abhing, wie geschickt der Integralweg um die Residuen herum gewählt wurde und dabei bei den üblichen kreisförmigen Umgehungen der freundliche (verschwindende) Grenzwert r→∞ oder r→0 als existent angenommen wurde oder was auch immer.
Rückfragen zu der Gültigkeit ergaben typischerweise etwas in der Richtung hier geht es so, doch bei weitem nicht immer, genaue Klärung sprengt den Rahmen des Studiums. Es blieb also bei der guten Nase, dem richtigen Gespür für den Einsatz hemdsärmeliger Techniken, immer mit der Menge der sinnvollen Ergebnisse fest im Blick.

Ist halt ähnlich wie bei Mathescherzen á la:

16/64 =(kürzen der 6) 16/64 = 1/4

Vier Dinge noch:
-Guido Grandis Reihe war schon in der Schule das erste Beispiel dafür, daß die üblichen Regeln (der Addition), insbesondere aber die Kommutativität für unendliche Reihen nur sehr bedingt gelten; seine Gleichsetzung mit ½ führte damals zu einer turbulenten Diskussion
-aus dem clip ist ja wohl klar ersichtlich, wat fürn Späßchen die Vortragenden haben
-Obi-Wan
#2 rolak
19. Januar 2014

Obi-Wan

Beim Zwiebelschälen ist mir endlich der völlig klare und zwischenzeitlich ebenso völlig verschwundene dritte Punkt eingefallen: Phil Plait sah sich schon genötigt eine Art Partialdementi abzulassen, um die Erbsenzähler zu beruhigen.
Entweder bin ich vom damaligen Studium her zu sehr mit solch höchst lokal anwendbaren Tricks vertraut oder mein schon nebenan geäußerter Eindruck der ausreichenden Hinweise im clip entspricht der Realität.

Da frischt sich zusätzlich eine schon fast verblaßte Erinnerung auf, irgendwelche Berechnungen zum Schalenmodell, wilde Berechnungen mit vielen Reihen wurden vorexerziert – und wegen eines anschließenden gemeinsamen wichtigen Termins (Doppelkopf) kam eine Mathestudentin für den Vorlesungsrest rein. Es konnte praktisch die Enstehung eines Magengeschwüres beobachtet werden 😉
#3 Bjoern Feuerbacher
19. Januar 2014

Danke für die Erklärung! Ähnlich wie rolak erinnere ich mich auch daran, wie im Physikstudium im Wesentlichen nach dem Motto “der Erfolg gibt einem Recht” gerechnet wurde – da ist es doch schön, auch mal erklärt zu bekommen, wie es eigentlich richtig ist.

Ein paar Tippfehler hast du oben aber eingebaut:
* nach “dann konvergiert die unendliche Reihe” stehen zwei Summenzeichen statt nur einem
* einmal steht “Riemman” statt “Riemann” 😉
#4 Thilo
19. Januar 2014

Beides korrigiert.
#5 AP
20. Januar 2014

@Thilo:
Ich kannte die beiden Videos, die diesen “Beweis” führen schon und es lässt mich seither nicht los.
Ich muss zugeben, dass meine Schulmathematik nicht ausreicht, deine Ausführungen in allen Details zu verstehen, daher erlaube ich mir, nachzufragen:
(a) “Wie gesagt kann man durch geschicktes Umordnen divergenter Reihen praktisch jede mathematische Identität beweisen.” Kannst du das laienhaft an Hand von (anderen) Beispielen erklären? Oder einen Link liefern?

@rolak:
Besten Dank für deinen Link zu Phil Plaits Blog. Er schreibt:
“The infinite series in the video (1+2+3+4+5…) can in fact be tackled using a rigorous mathematical method, and can in fact be assigned a value of -1/12! This method is quite real, and very useful. And yes, the weirdness of it is brain melting.”
(b) Es wird bei allen Beiträge zum Thema geschrieben, dass dieses Ergebnis in der Stringtheorie Anwendung findet und sohin seine “reale” Entsprechung fände.
Aber was bedeutet das? Wie ist diese Stringtheorie-Anwendung zu verstehen?
#6 Thilo
20. Januar 2014

a) Das Stichwort ist Riemannscher Umordnungssatz. Der Wikipedia-Artikel hat auch ein explizites Beispiel:

Die Reihe

konvergiert gegen . (Das folgt aus der Reihenentwicklung des Arkustangens wenn man x=1 einsetzt.)

Man kann die Reihe aber auch umordnen zu
,
was man mit den im Wikipedia-Artikel angegeben Umformungen vereinfachen kann zu
.
Die in Klammern stehende Summe konvergiert gegen . (Das folgt aus der Reihenentwicklung des Logarithmus wenn man x=1 einsetzt.)

Nach Umsortieren konvergiert die Reihe also gegen einen deutlich kleineren Wert, statt . Anschaulich liegt das daran, dass man die negative Summanden nach links geschoben hat, wodurch die Partialsummen und letztlich auch der Grenzwert kleiner wurden.

b) wuerde mich auch interessieren.
#7 rolak
21. Januar 2014

durch geschicktes Umordnen divergenter Reihen praktisch jede mathematische Identität

Um ein Beispiel aus meiner Schulzeit zu bringen, AP: Das erste von Thilo, also $1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots$ konvergiert sogar, doch die beiden ‘Halbreihen’, also $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n-1}$ und $\sum_{n=1}^\infty -\frac{1}{2n}$ jedoch nicht. Also suchst Du Dir ein reelles Ziel x und sortierst so um, daß solange positive Glieder genommen werden, bis die Partialsumme größer als x wird, dann solange negative, bis sie wieder kleiner als x ist usw usw. Sieht so aus wie ein sich einschwingender Sägezahn und konvergiert auch schön. Falls diese Umsortierung erlaubt, also werterhaltend wäre, könntest Du sofort für zwei beliebige reelle Zahlen zeigen, daß sie gleich sind.

b). Tja. Wie sagt man so schön: Meine Gewandtheit in der Stringtheorie ist ein wenig eingerostet. aka ‘hatte nie eine’… Falls ich allerdings alles Bisherige halbwegs richtig verstanden habe, tauchen bei diversen Ansätzen zur Mathematisierung der Theorie Unendlichkeiten an Stellen auf, an denen die Beobachtung nichts dergleichen liefert – so wird halt geschaut, daß die Pole passend geglättet bzw die Definitionsbereichslücken sinnvoll geschlossen werden. Erstaunlicherweise scheint die ‘übliche’ analytische Fortsetzung funktional zu sein.
Das ‘=’ in solchen Gleichungen muß immer mit etwas Vorsicht interpretiert werden.
#8 AP
21. Januar 2014

Danke für die Antworten, Thilo und rolak.
Ist die Umordnung nun ein “erlaubtes” Mittel, um Realitäten in der Physik zu beschreiben? Dies scheint mir so willkürlich und lässt mich sehr an der Absolutheit der Mathematik zweifeln…

rolak, diesen Satz verstehe ich nicht:
“Erstaunlicherweise scheint die ‘übliche’ analytische Fortsetzung funktional zu sein.”

Auf jeden Fall sehr spannend und faszinierend.
#9 MisterKnister
21. Januar 2014

Hier ein paar Artikel von Lubos Motl (String theoretiker) zu dem Thema, und er ist der Meinung das man mit recht sagen kann das die Summe der natürlichen Zahlen -1/12 ist !
(Warum man das in der Stringtheorie braucht kann man üprigens in einem der Videoserie zur Stringtheorie von Leonard Susskind sehen.)

https://motls.blogspot.de/2014/01/eta-function-and-sum-of-positive.html

https://motls.blogspot.de/2014/01/sum-of-integers-and-oversold-common.html?m=1
#10 MisterKnister
21. Januar 2014

Wieso seh ich meinen post nicht?
#11 MisterKnister
21. Januar 2014

Hier ein paar Artikel von Lubos Motl (String theoretiker) zu dem Thema, und er ist der Meinung das man mit recht sagen kann das die Summe der natürlichen Zahlen -1/12 ist !
(Warum man das in der Stringtheorie braucht kann man üprigens in einem der Videoserie zur Stringtheorie von Leonard Susskind sehen.)
#12 MisterKnister
21. Januar 2014

https://motls.blogspot.de/2014/01/eta-function-and-sum-of-positive.html

https://motls.blogspot.de/2014/01/sum-of-integers-and-oversold-common.html?m=1
#13 MisterKnister
21. Januar 2014

http:??motls.blogspot.de/2014/01/eta-function-and-sum-of-positive.html

http:??motls.blogspot.de/2014/01/sum-of-integers-and-oversold-common.html?m=1

?? mit // ersetzen
#14 MisterKnister
21. Januar 2014

motls.blogspot.de/2014/01/eta-function-and-sum-of-positive.html

motls.blogspot.de/2014/01/sum-of-integers-and-oversold-common.html?m=1

https:// hinten dran
#15 MisterKnister
21. Januar 2014

Wieso kann ich keine Links posten? Was soll der Mist?
#16 rolak
21. Januar 2014

Umordnung zur Realitäten-Beschreibung?

Nein, AP, diese Gleichsetzung mit -1/12 kann mit der Umordnung bestenfalls veranschaulicht werden, ein netter brainfuck – die Herkunft der Gleichung hat Thilo im post beschrieben. Und selbst dabei ist ja die Reihe nur nach brachialer off-limits-Interpretation aufgetaucht.

Womit dann auch schon der unverstandene Satz erreicht ist: Obwohl der Wert der Reihe nicht definiert ist, scheint trotz des an den Haaren herbeigezogenen Zusammenhanges der Wert der analytischen Fortsetzung der Zeta-Funktion bei diesem bestimmten Aspekt der Stringtheorie ein funktionaler Ersatz zu sein, mit dem sinnvoll weitergerechnet werden kann.
Als grundlegende Methodik wäre sowas ein Schlaraffenland für Zahlenmystiker, als freie Assoziation über die Frage, wieso der Wert-Ersatz so gut funktioniert kribbelt es so schön beim Denken 😉
#17 MisterKnister
21. Januar 2014

Dieser Wert wird nicht nur in der Stringtheorie benutzt sondern auch in andere Experimenten zum Casimir Effekt und anderen Sachen, aber da man hier keine Links posten darf müsst ihr halt ignorant bleiben ^^ Tut mir leid.
#18 MisterKnister
21. Januar 2014

Und vor allem keine Ahnung von Stringtheorie haben, tut mir noch mehr leid 😉
#19 Thilo
21. Januar 2014

@MisterKnister: Beiträge mit mehreren Links landen manchmal im Spamfilter. (Kann man umgehen, indem man nur einen Link pro Beitrag postet.) Jetzt ist alles freigeschaltet.
#20 Thilo
22. Januar 2014

Jetzt auch bei Spiegel Online https://www.spiegel.de/wissenschaft/mensch/mathematik-bizarr-summe-aller-natuerlichen-zahlen-ist-negativ-a-944534.html mit einem Link zu einem Artikel von Terence Tao https://terrytao.wordpress.com/2010/04/10/the-euler-maclaurin-formula-bernoulli-numbers-the-zeta-function-and-real-variable-analytic-continuation/
#21 Hans Meier
22. Januar 2014

Hallo,

die Eulersche Formel ist von grossem Nutzen.
Entsprechend der Summe auf der linken Seite mache
man Schulden – entsprechend der rechten Seite muss man nichts zurückzahlen. Im Gegenteil man bekommt noch einen
halben Euro raus. – Ich vermute die Bankster wenden diese
Formel an.
Im übrigen lässt sich das entsprechende Spielchen mit der geometrischen Reihe und ihrer Summationsformel spielen.
q=2
1 + 2+4+8+16+…=1/(1-q) = -1

MfG

MFG
#22 Dr. Webbaer
22. Januar 2014

Bonusfrage:

Eine Katze hat neun Schwänze.
Beweis:
Keine Katze hat acht Schwänze.
Eine Katze hat exakt einen Schwanz mehr als keine Katze, daher hat eine Katze neun Schwänze.
Die Menge der Schwänze ist bei jeder Katze identisch, daher hat jede Katze neun Schwänze.

Was ist hier falsch?
#23 rolak
22. Januar 2014

Was ist hier falsch?

Die Behauptung, das Webaerschchen würde vor dem posten nachdenken.
#24 Dr. Webbaer
22. Januar 2014

@ rolak (slw. ugs. für ‘Rollkragenpullover’, metaph. für ‘Intellektueller’)

Geht’s auch etwas substanzieller?
#25 Die Summe aller natürlichen Zahlen und die unendliche Verwirrung – Astrodicticum Simplex
22. Januar 2014

[…] der Mathematiker Mark Chu-Carroll in seinem Blog “Good Math, Bad Math” oder auch Thilo Küssner vom “Mathblog” ausführlich […]
#26 Kassandra
22. Januar 2014

@Dr. Webbaer:
Weil der 1. Satz nicht mathematisch korrekt ist, es muss heißen: Es existiert keine Katze, die 8 Schwänze hat.
#27 Bullet
22. Januar 2014

@Webbär:

Was ist hier falsch?

Das is nich dein Ernst.
Oder? Ich mein: schön, daß das im SPON-Artikel drinstand, aber selbst du kopierst doch mnicht dreist anderer Leute Arbeit als deine eigene. Oder hat sich das jetzt geändert?
#28 Bullet
22. Januar 2014

@Kassandra:
man kann jetzt natürlich spitzfindig werden… so wie in
“Menge weiblicher Katzen mit Anzahl Schwänzen >1 =0”, aber ich glaube, interessanter wäre da der Ansatz, wenn man die Zahl der Katzen ohne Schwanz mit ins Verkomplizierungsboot holt …
#29 Frank Wappler
https://wer.nicht.bumped--der.bumped.verkehrt
22. Januar 2014

Thilo schrieb (am Januar 19, 2014):
> Nun war ja die Riemannsche Zeta-Funktion eigentlich (für Re(s)>1) mal definiert als […]
> und wenn man da formal s=-1 einsetzt, bekommt man […]
> Der Punkt ist natürlich, dass $\zeta(s)$ eben nur für Re(s)>1 auf diese Weise definiert war, für andere Werte von s divergiert die Reihe und der Wert der analytischen Fortsetzung hat nichts mit dem (nicht existenten) Wert der unendlichen Reihe zu tun.

Ganz recht!
Aber warum diese wichtigen, berechtigten Kaveats nicht auch durch geeignete Notation ausdrücken (und betonen) ??

Warum steht im obigen Artikel ganz unverblümt
> $-\frac{1}{12} = \zeta(-1) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ...$

und nicht stattdessen z.B. wenigstens
“ $-\frac{1}{12} = \zeta(-1) \bumpeq 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ...$ ”
?

Warum ausdrücklich und wiederholt
> 1+2+3+4+5+… = -1/12

anstatt z.B.
“1+2+3+4+5+… =?= -1/12”
? …
#30 Dr. Webbaer
22. Januar 2014

@ Kassandra

Weil der 1. Satz nicht mathematisch korrekt ist, es muss heißen: Es existiert keine Katze, die 8 Schwänze hat.

Der Fehler muss wohl in der Existenzaussage ‘Keine Katze hat acht Schwänze.’ liegen, wenn sie “einfach so” als Skalar verrechnet wird.

MFG
Dr. W
#31 Leo Späth
St. Martin
23. Januar 2014

Ersteinmal ist zu sagen, dass alle Umformungen und alle Lösungen, so lange man beim Umformen alles richtig macht (und nicht so was macht: 1 + 0 = 0) richtig sind.

Warum das?
Jede Umformung können wir als komplett eigenständige Operation sehen. Nur weil es sich beidesmal um die Addition und die Menge der Natürlichen Zahlen handelt, muss es nicht gleich heißen das bei den einzelnen Umformungen gleiche Ergebnisse herauskommen. Jede Umformung ist eine eigene Operation genauso wie bei 3+2 was anderes herauskommt als bei 3-2 kommt bei der einen Umformung etwas anderes heraus als bei der anderen. Manche Umformungen sind vielleicht für die moderne Mathematik wichtiger, aber das heißt nicht das die anderen nicht stimmen.

Das zeigt uns mal wieder wie trivial das Verständnis von Mathematik ist, wie real und unabstrakt die meisten Menschen Mathematik ansehen.

Viele wissen
“Mathematik hat nichts mit Rechnen und auch nicht Unbedingt etwas mit Zahlen zu tun”
Aber eigentlich
“Hat Mathematik auch nichts mit Formeln, Gleichungen und Funktionen zu tun”
#32 Frank Wappler
https://katzenklappen.commutator.phd
23. Januar 2014

Dr. Webbaer schrieb (#22, 22. Januar 2014):
> Keine Katze hat acht Schwänze.
> Eine Katze hat exakt einen Schwanz mehr als keine Katze

Der zweite Satz ist nicht korrekt; es sollte stattdessen heißen:
“Eine Katze hat exakt einen Schwanz mehr als null Katze(n).”

Ein Wesen/Ding/Etwas, das acht Schwänze hat (und das im ersten Satz korrekter Weise als “keine Katze” bezeichnet wurde) hat/hätte dagegen offenbar sieben Schwänze mehr als eine Katze, und wäre dahingehend deutlich verschieden von null Katze(n).
#33 Dr. Webbaer
23. Januar 2014

Macht das den Braten fett, Wappler?, vgl. :
‘
Null Katzen haben acht Schwänze.
Eine Katze hat exakt einen Schwanz mehr als null Katzen, daher hat eine Katze neun Schwänze.
‘
#34 Frank Wappler
https://If.I.had.something.other.than.a.dollar.for.each.time--that'd.be.something
23. Januar 2014

Dr. Webbaer schrieb (#33, 23. Januar 2014):
> Macht das [#32] den Braten fett […]?

Bärenfett. Wie man leicht sieht:

Das ist keine Katze. (Sogar: keine Katze mit genau 8 Schwänzen!).

Aber andererseits:

Das ist (noch) null Katze.
#35 Thilo
23. Januar 2014

Lubos Motl mit einer direkteren Methode, die Werte der Riemannschen Zetafunktion in -1 oder anderen negativen ganzen Zahlen zu berechnen: https://motls.blogspot.kr/2014/01/a-recursive-evaluation-of-zeta-of.html#more
#36 michael
23. Januar 2014

@Bullet
> … Zahl der Katzen ohne Schwanz mit ins Verkomplizierungsboot holt.

Hab leider keine Ahnung, wieviel es von den Viechern gibt:

https://de.wikipedia.org/wiki/Manx_%28Katze%29

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e5/Cat_o%27_nine.JPG/799px-Cat_o%27_nine.JPG
#37 Dr. Webbaer
23. Januar 2014

Abschließend zu dieser Sache vielleicht noch, die der Schreiber dieser Zeilen nur als Mathematikerwitz kennt, also ohne Erklärung:
‘
Eine Katze hat neun Schwänze.
Beweis:
Keine Katze hat acht Schwänze.
Eine Katze hat exakt einen Schwanz mehr als keine Katze, daher hat eine Katze neun Schwänze.
Die Menge der Schwänze ist bei jeder Katze identisch, daher hat jede Katze neun Schwänze.
‘

‘Keine Katze hat acht Schwänze.’ ist eine etwas versteckte Mengenangabe; die Aussage ist, dass die Menge der Katzen mit acht Schwänzen leer ist.
‘Eine Katze hat exakt einen Schwanz mehr als keine Katze’ ist ein Vergleich wobei idT ‘null Katzen’ gemeint sind.
Was nicht geht, ist auf die Mengenangabe die Addition anzuwenden.
Der Gag scheint darin zu bestehen, dass die natürliche Sprache hier ungenügend leistet, unklar bleibt.

MFG
Dr. W
#38 Frank Wappler
https://Ein.Aphorismus.ist.nur.eine.halbe.Wahrheit.--Oder.eine.anderthalbe.
23. Januar 2014

Dr. Webbaer schrieb (23. Januar 2014):
> […] Der Gag scheint darin zu bestehen, dass die natürliche Sprache hier ungenügend leistet, unklar bleibt.

Stimmt erstmal.
Solche Unzulänglichkeiten sind oft die Grundlage von Gags;
nicht zuletzt des Gags von Thilo, Luboš u.a., “ $\, = \,$ ” auch dort hinzuschreiben, wo nur etwas ausreichend deutlich anderes (aber deshalb oft Aufwändigeres/Umständlicheres) wirklich richtig wäre (mir [#29] gefällt an solcher Stelle z.B. “ $\, \bumpeq \,$ “; d.h. sofern dem kein anderer dokumentierter Gebrauch dieses Symbols entgegenstünde).

> ‘Eine Katze hat exakt einen Schwanz mehr als keine Katze’ ist ein Vergleich wobei idT ‘null Katzen’ gemeint sind.

Richtig. (Gern geschehn.)
Die Formulierung enthält genug Hinweise auf Zahlen (“eine“) und numerische Vergleiche (“mehr als“), dass idT die Interpretation

“keine” =(als_Anzahl)= “null”

nahegelegt ist.

> ‘Keine Katze hat acht Schwänze.’ ist eine etwas versteckte Mengenangabe; die Aussage ist, dass die Menge der Katzen mit acht Schwänzen leer ist.

Das ist wohl eine übliche Interpretation (vgl. #26) und von den ursprünglichen Witzereißern und -verbreitern wohl etwa so gemeint gewesen: Die “Wortspielerei”

“keine” =(als_Anzahl)= “null”

gegenüber

“keine” =(als_Negierung_einer_geeigneten_Aussage)= “es ist nicht zutreffend, dass …”.

Aber: in #32 und #34 ist noch eine weitere “Wortspielerei” gemeint:

“keine” =(als_Teil_einer_Benennung)= “etwas anderes als …”

Unter letzterem Blickwinkel ist übrigens auch die Formulierung
Kassandra schrieb (#26, 22. Januar 2014):
> Es existiert keine Katze, die 8 Schwänze hat.
doppeldeutig; nämlich als

“Es gibt etwas, das 8 Schwänze hat; und wir nennen es (vorerst, vielleicht noch etwas unbeholfen und unspezifisch, aber immerhin nicht ganz falsch): “Keine Katze´´.”,

neben der (üblicheren) Interpretation als:

“Es ist nicht zutreffend, dass irgendeine Katze 8 Schwänze hat.”

Merke: Sprache (und auch Formelzeichen) erlauben es, sich so einfach wie möglich unmissverständlich auszudrücken; aber nicht noch einfacher.
#39 Frank Wappler
https://Frisch.auf--sprach.der.Fuchs.zum.Hasen...
25. Januar 2014

p.s.

[ Den folgenden Kommentar habe ich in den vergangenen 24 Stunden insgesamt drei mal (in drei inhaltlich identischen, und nur geringfügig verschieden formattierten Versionen) in einem bestimmten anderen SciLogs-Beitrag (von einem bestimmten anderen SciLogs-Blog) eingereicht, der sich ebenfalls mit dem o.g. Numberphile-Video beschäftigt, und dessen diesbezügliche Kommentare sich deshalb ebenfalls mit unendlichen Reihen beschäftigten.

Einen der dortigen Kommentare fand ich besonders wohlüberlegt und anregend, und wollte deshalb direkt darauf antworten. Ich reichte also meine Antwort ein, und sie wurde als Kommentar (#80) im Browser dargestellt; allerdings versehen mit der Bemerkung “Ihr Kommentar wird moderiert.” Und das war sehr gut so — denn dadurch erhielt ich wenigstens eine Vorschau, wie das, was ich eingereicht hatte, auf der SciLogs-Seite dargestellt würde! Dabei bemerkte ich, dass mir einige formattierungen nicht recht gelungen waren. (Wohl verständlich — bei all dem $\, \text{\}\!\text{mathjax} \,$ und den Links in meinem Kommentar.)

Also versuchte ich etwas später meinen Kommentar mit verbesserter Formattierung erneut einzureichen. Erneut war das Dargestellte (#81) mit der Bemerkung “Ihr Kommentar wird moderiert.” versehen. Gut so! — da fand ich noch zwei Typos, die mir in meinem Editor nicht aufgefallen waren.

Nach mehreren Stunden sah ich mir den betreffenden SciLogs-Beitrag wieder an: was ich eingereicht hatte war verschwunden; und die Kommentare #80 und #81 waren nun gänzlich andere. Gut so!, dachte ich, und reichte meinen nun endgültig korrigerten Kommentar nun ein drittes mal ein. Nur, leider, wurde diesmal auf jener Seite von jenem anderen SciLogs-Blog nun gar nichts von dem dargestellt, was ich eingereicht hatte. (Und ja: meine angegebene eMail hatte ich zwischendurch auch mal durchgesehen.)

Deshalb reiche ich diese, unveränderte Version meiner Antwort auf den Kommentar, den ich besonders wohlüberlegt und anregend fand (und der auch hier natürlich “on-topic” zu sein scheint), nun hiermit ein. FW ]

TSK schrieb (#42, 22. Januar 2014):
> Ich glaube, man sollte die Verwirrung ein wenig klären […]
> […] ob der verwendete Zahlenraum und die definierten Operatoren sich widerspruchsfrei definieren lassen. […] Vektoraddition benutzt auch “+”.

Stimmt erstmal.

> Es ist also keineswegs eindeutig, dass das Symbol “+” im Video

… bzw. in der beanstandeten Formel “1+2+3+4+5+6+… = -1/12” …

> die natürliche Summe darstellt.

Im obigen Sinne ist jedenfalls die Frage berechtigt und diskutabel:

Stellt das Symbol “+” dort die selbe Operation (“zweistellige Verknüpfung”) dar, die wir auf komplexe Zahlen anzuwenden wissen?

Ist die Definition und Bedeutung des Symbols “ $\, + \,$ ” in der (Teil-)Formel
$\frac{1}{a^s} + \frac{1}{b^s}$
(für irgendwelche zwei positiven natürlichen Zahlen $a$ und $b$ )
denn nicht unabhängig davon, ob außerdem

“ $Re( s ) \gt 1$ ”

gefordert wird, oder nicht??
(Wohl eher doch unabhängig davon.)

Aber es ist ja sicher ebenso berechtigt und diskutabel zu fragen:
Stellt denn das Symbol “=” in der fraglichen Formel (also in “1+2+3+4+5+6+… = -1/12”) die selbe Art von Vergleich dar, die aus
$2 \times 2 = 4$
bekannt ist; oder genauso aus
$\zeta(s) = 2^s \times \pi^{s-1} \times \text{Sin}\left( \frac{s}{2} \times \pi \right) \times \Gamma(1-s) \times \zeta(1-s)$
?

Wohl eher nicht!
Stattdessen drückt man die Beziehung zwischen “linker Seite” und “rechter Seite” der fraglichen Formel doch genauer so aus:

“1+2+3+4+5+6+… =(durch_Zeta-Regularisierung)= -1/12″.

Vergleichbar damit, dass man z.B. auch Modulo-Beziehungen durch Verwendung des Symbols “ $\, \equiv_m \,$ ” ausdrückt, und nicht “einfach” mit “ $\, = \,$ ”.

(Man mag natürlich geeignete symbolische Abkürzungen für das unhandliche
“=(durch_Zeta-Regularisierung)=”
finden (mir selbst gefällt an dieser Stelle z.B. das Symbol “ $\, \bumpeq \,$ ”).
Hauptsache man begeht nicht den Fehler, schlicht und unverblümt lediglich “ $\, = \,$ ” dahin zu setzen.
#40 MisterX
25. Januar 2014

Hier ist noch die Methode von Leonard Susskind dazu:
https://www.youtube.com/watch?v=-I7PjKyCnI0
Ab 1:14:00
#41 Frank Wappler
https://In.der.Ruhe.liegt.die.Gruft--now.wait.a.minute--make.that.Kraft...
25. Januar 2014

MisterX schrieb (#40, 25. Januar 2014):
> die Methode von Leonard Susskind [… Lesson 5] Ab 1:14:00

Was Mathe angeht, wird nach der von Leonard Susskind gezeigten Methode
aus dem “$\latex \, = \, $” ein “$\latex \, \bumpeq \, $”
bei 1:32:12.
#42 misterx
25. Januar 2014

ich weiss nicht ob du dasselbe Video geguckt hast, aber bei 1:32:12 ist die ganze Rechnung eh schon lange vorbei und da ändert er nix an der Tafel oder sonst was
#43 Dr. Webbaer
25. Januar 2014

@Wappler

Solche Unzulänglichkeiten sind oft die Grundlage von Gags;
nicht zuletzt des Gags von Thilo, Luboš u.a. (…)

Danke für die Info.

MFG
Dr. W
#44 Frank Wappler
https://hallo.wach
26. Januar 2014

misterx schrieb (#42, 25. Januar 2014):
> ich weiss nicht ob du dasselbe Video geguckt hast,

Doch doch!
(Auch wenn ich nachlässiger Weise von “Lesson 5” geschrieben hatte, obwohl es sich doch richtiger um “Lecture 5” handelt. ‘tschuldigung.)

Eben genau das, was man durch dem Link
https://www.youtube.com/watch?v=-I7PjKyCnI0
erreicht, den Misterx netter Weise oben (#40, 25. Januar 2014) angegeben hat.

Und Leonard Susskinds Rechnung (… den genauen, Wikipedia-tauglichen, technischen Namen der Methode möchte ich noch recherchieren …) beginnt, wie angegeben, etwa ab 1:14:00.

> aber bei 1:32:12 ist die ganze Rechnung eh schon lange vorbei und da ändert er nix an der Tafel oder sonst was

Bist du etwa bis (oder schon vor) 1:32:08 eingeschlafen?

p.s.
Das Formelzeichen, das man richtiger Weise (und im Unterschied zu Formelzeichen “ $\, = \,$ “) zwischen

“ $1 + 2 + 3 + ...$ ” und “ $\, \frac{-1}{12} \,$ ”

setzen kann (außer dem selbstverständlichen “ $\, < \,$ ") schreibt sich offenbar üblicher Weise

" $\, \stackrel{\text{reg}}{=} \,$ "

(siehe z. B. https://arxiv.org/pdf/1207.3052.pdf, Gleichung (34).)
#45 Frank Wappler
https://hallo.wach
26. Januar 2014

misterx schrieb (#42, 25. Januar 2014):
> ich weiss nicht ob du dasselbe Video geguckt hast,

Doch doch!
(Auch wenn ich nachlässiger Weise von “Lesson 5” geschrieben hatte, obwohl es sich doch richtiger um “Lecture 5” handelt. ‘tschuldigung.)

Eben genau das, was man durch dem Link
https://www.youtube.com/watch?v=-I7PjKyCnI0
erreicht, den Misterx netter Weise oben (#40, 25. Januar 2014) angegeben hat.

Und Leonard Susskinds Rechnung (… den genauen, Wikipedia-tauglichen, technischen Namen der Methode möchte ich noch recherchieren …) beginnt, wie angegeben, etwa ab 1:14:00.

> aber bei 1:32:12 ist die ganze Rechnung eh schon lange vorbei und da ändert er nix an der Tafel oder sonst was

Bist du etwa bis (oder schon vor) 1:32:08 eingeschlafen?

p.s.
Das Formelzeichen, das man richtiger Weise (und im Unterschied zu Formelzeichen “ $\, = \,$ “) zwischen

“ $1 + 2 + 3 + ...$ ” und “ $\, -\frac{1}{12} \,$ ”

setzen kann (außer dem selbstverständlichen “ $\, > \,$ “) schreibt sich offenbar üblicher Weise

” $\, \stackrel{\text{reg}}{=} \,$ ”

(siehe z. B. https://arxiv.org/pdf/1207.3052.pdf, Gleichung (34).)
#46 MisterX
26. Januar 2014

Du hast gehört was er in dem Video gesagt hat? Das dieser Term in besser definierten Stringtheorien, also in denen durch konforme Invarianz gezeigt wird das die bosonische Stringtheorien 24 Dimensionen brauchen überhaupt nicht vorkommt und der Term einfach nur eine “unendliche Konstante” ist und durch einen unendlichen Term in der gleichung für die Energie ausgeglichen wird, (darauf hin erzählt er doch auch den Pauli und Dirac Witz). Und der Thilo wollte auch wissen wo diese Identität bei der Stringtheorie eingesetzt wird, hier in dem Video wird es erklärt. Ich weiß aber nicht wie fit Thilo in theoretischer Physik ist. Aber da er viel mit Topologie zu tun, könnte es gut sein(ausser QM,QFT). Und in der Gleichung in deinem Paper wird das ganze mit analytical continuation gemacht, und das ist eine andere Methode schätze ich. Was soll “reg” überhaupt heissen?
Hier noch mal ein paar Links zu einem Blog von jemandem der sich damit auskennt(also anderer als Lenny):
https://motls.blogspot.de/2014/01/sum-of-integers-and-oversold-common.html?m=1

https://motls.blogspot.de/2011/07/why-is-sum-of-integers-equal-to-112.html?m=1

Hier ist die Methode von Lenny noch mal von Lubos erklärt in Schriftform, und wie er sagt hat das nix mit der Zeta Funktion zu tun.

https://motls.blogspot.de/2011/07/why-is-sum-of-integers-equal-to-112.html?m=1
#47 MisterX
26. Januar 2014

Du hast gehört was er in dem Video gesagt hat? Das dieser Term in besser definierten Stringtheorien, also in denen durch konforme Invarianz gezeigt wird das die bosonische Stringtheorien 24 Dimensionen brauchen überhaupt nicht vorkommt und der Term einfach nur eine “unendliche Konstante” ist und durch einen unendlichen Term in der gleichung für die Energie ausgeglichen wird, (darauf hin erzählt er doch auch den Pauli und Dirac Witz). Und der Thilo wollte auch wissen wo diese Identität bei der Stringtheorie eingesetzt wird, hier in dem Video wird es erklärt. Ich weiß aber nicht wie fit Thilo in theoretischer Physik ist. Aber da er viel mit Topologie zu tun, könnte es gut sein(ausser QM,QFT). Und in der Gleichung in deinem Paper wird das ganze mit analytical continuation gemacht, und das ist eine andere Methode schätze ich. Was soll “reg” überhaupt heissen?
Hier noch mal ein paar Links zu einem Blog von jemandem der sich damit auskennt(also anderer als Lenny):
https://motls.blogspot.de/2014/01/sum-of-integers-and-oversold-common.html?m=1

https://motls.blogspot.de/2011/07/why-is-sum-of-integers-equal-to-112.html?m=1

Hier ist die Methode von Lenny noch mal von Lubos erklärt in Schriftform, und wie er sagt hat das nix mit der Zeta Funktion zu tun.
#48 MisterX
26. Januar 2014

oh man was soll eigentlich dieser Mist immer? Wieso seh ich nie meine posts, selbst wenn ich nur einen Link drin hab, wenn ichs nochmal schreiben will kommt das ich das gleiche gepostet habe obwohl ich den post nicht sehe
#49 MisterX
26. Januar 2014

Du hast gehört was er in dem Video gesagt hat? Das dieser Term in besser definierten Stringtheorien, also in denen durch konforme Invarianz gezeigt wird das die bosonische Stringtheorien 24 Dimensionen brauchen überhaupt nicht vorkommt und der Term einfach nur eine “unendliche Konstante” ist und durch einen unendlichen Term in der gleichung für die Energie ausgeglichen wird, (darauf hin erzählt er doch auch den Pauli und Dirac Witz). Und der Thilo wollte auch wissen wo diese Identität bei der Stringtheorie eingesetzt wird, hier in dem Video wird es erklärt. Ich weiß aber nicht wie fit Thilo in theoretischer Physik ist. Aber da er viel mit Topologie zu tun, könnte es gut sein(ausser QM,QFT). Und in der Gleichung in deinem Paper wird das ganze mit analytical continuation gemacht, und das ist eine andere Methode schätze ich. Was soll “reg” überhaupt heissen?
Hier noch mal ein paar Links zu einem Blog von jemandem der sich damit auskennt(also anderer als Lenny):
https://motls.blogspot.de/2014/01/sum-of-integers-and-oversold-common.html?m=1

https://motls.blogspot.de/2011/07/why-is-sum-of-integers-equal-to-112.html?m=1

Hier ist die Methode von Lenny noch mal von Lubos erklärt in Schriftform, und wie er sagt hat das nix mit der Zeta Funktion(wie in dem Paper) zu tun.
#50 MisterX
26. Januar 2014

Du hast doch gehört was er in dem Video gesagt hat? Das dieser Term in besser definierten Stringtheorien, also in denen durch konforme Invarianz gezeigt wird das die bosonische Stringtheorien 24 Dimensionen brauchen überhaupt nicht vorkommt und der Term einfach nur eine “unendliche Konstante” ist und durch einen unendlichen Term in der gleichung für die Energie ausgeglichen wird, (darauf hin erzählt er doch auch den Pauli und Dirac Witz). Und der Thilo wollte auch wissen wo diese Identität bei der Stringtheorie eingesetzt wird, hier in dem Video wird es erklärt. Ich weiß aber nicht wie fit Thilo in theoretischer Physik ist. Aber da er viel mit Topologie zu tun, könnte es gut sein(ausser QM,QFT). Und in der Gleichung in deinem Paper wird das ganze mit analytical continuation gemacht, und das ist eine andere Methode schätze ich. Was soll “reg” überhaupt heissen?
Hier noch mal ein paar Links zu einem Blog von jemandem der sich damit auskennt(also anderer als Lenny):
#51 MisterX
26. Januar 2014

Hier der eine Link(hab ich schon oben gepostet, aber egal, ging eh unter):

https://motls.blogspot.de/2014/01/sum-of-integers-and-oversold-common.html?m=1
#52 MisterX
26. Januar 2014

Ach keine Ahnung, @Wappler: Guck dir einfach die beiden Links die ich ganz oben gepostet hab, bei dem Link “Why is the sum of integers equal to -1/12 ” beschreibt Lubos die Methode die Lenny im Video gezeigt hat. Und die hat nix mit der Zeta Funktion zu tun(schreibt er jedenfalls).
#53 Frank Wappler
https://einmal.mit.Profis.arbeiten...
26. Januar 2014

MisterX schrieb (#46, 26. Januar 2014):
> Du hast gehört was er in dem Video gesagt hat? Das[s] dieser Term in besser definierten Stringtheorien, also in denen durch konforme Invarianz gezeigt wird[,] das[s] die bosonische Stringtheorien 24 Dimensionen brauchen[,] überhaupt nicht vorkommt und der Term einfach nur eine “unendliche Konstante” ist und durch einen unendlichen Term in der gleichung für die Energie ausgeglichen wird, (darauf hin erzählt er doch auch den Pauli[-]und[-]Dirac[-]Witz).

Du hast also bemerkt, dass er [Leonard Susskind, a.k.a. Lenny] im besagten Video bei 1:32:12 an der Tafel etwas ändert? Im Gegensatz zu misterx (#41, 26. Januar 2014)? Alle Achtung!

> Was soll “reg” [ in . https://arxiv.org/pdf/1207.3052.pdf, Gleichung (34) ] überhaupt heissen?

Ich vermute: “regularized”.
Das gesamte Symbol
” $\, \stackrel{\text{reg}}{=} \,$ ”
würde ich entsprechend
“equivalent by regularization”
aussprechen.

Und das unterscheidet sich von “equal” (” $=$ “) grob gesagt dadurch, dass im Rahmen der Rechnung Umformungen vorgenommen werden können, wie sie bei 1:32:12 zu sehen sind.

(Übrigens werden auf der angegebenen Wikipedia-Seite auch Pauli und Dirac erwähnt. Man sollte sich im Zusammenhang damit den o.g. “Pauli-und-Dirac-Witz” vielleicht nochmal genauer anhören …)

> Hier ist die Methode von Lenny noch mal von Lubos

… sicherlich: Luboš (Luboš Motl) …

> erklärt in Schriftform, und wie er sagt hat das nix mit der Zeta Funktion zu tun.
> https://motls.blogspot.de/2011/07/why-is-sum-of-integers-equal-to-112.html?m=1

Genau!, Danke — ich wusste doch, dass ich erst neulich über die “Exponential regulator method” gelesen hatte, und mir leider den genauen Begriff nicht gemerkt hatte, und/oder wo ich davon gelesen hatte; und gestern (bis #46, 26. Januar 2014) u.a. auf Wikipedia nicht mehr fündig wurde.

Man sollte Luboš eigentlich zutrauen, dass er sowohl die gedankliche Beweglichkeit als auch das technisch-schriftsetzerische Vermögen besäße, um

” $\, \stackrel{\text{reg}}{=} \,$ ”

dort hin zu schreiben, wo es hingehört.
(Lenny kann man sowas wohl nicht guten Gewissens vorwerfen. Aber bei Luboš, und ebenso bei Thilo, vermutet man eben einen absichtlichen Gag.)
#54 Frank Wappler
https://einmal.mit.Profis.arbeiten...
26. Januar 2014

[ p.s. — So wie von MisterX oben bemerkt, wird auch der Kommentar, den ich gerade eingereicht habe, nicht angezeigt; und auch keinerei Bemerkung, dass er möglicherweise erst später, nach erfolgter Moderation, angezeigt würde. Auch wenn ich das hier bisher kaum erlebt habe: Das ist ein Problem! Deshalb reiche ich meinen Kommentar hiermit ein weiteres Mal ansonsten unverändert ein. – FW ]

MisterX schrieb (#46, 26. Januar 2014):
> Du hast gehört was er in dem Video gesagt hat? Das[s] dieser Term in besser definierten Stringtheorien, also in denen durch konforme Invarianz gezeigt wird[,] das[s] die bosonische Stringtheorien 24 Dimensionen brauchen[,] überhaupt nicht vorkommt und der Term einfach nur eine “unendliche Konstante” ist und durch einen unendlichen Term in der gleichung für die Energie ausgeglichen wird, (darauf hin erzählt er doch auch den Pauli[-]und[-]Dirac[-]Witz).

Du hast also bemerkt, dass er [Leonard Susskind, a.k.a. Lenny] im besagten Video bei 1:32:12 an der Tafel etwas ändert? Im Gegensatz zu misterx (#41, 26. Januar 2014)? Alle Achtung!

> Was soll “reg” [ in . https://arxiv.org/pdf/1207.3052.pdf, Gleichung (34) ] überhaupt heissen?

Ich vermute: “regularized”.
Das gesamte Symbol
” $\, \stackrel{\text{reg}}{=} \,$ ”
würde ich entsprechend
“equivalent by regularization”
aussprechen.

Und das unterscheidet sich von “equal” (” $=$ “) grob gesagt dadurch, dass im Rahmen der Rechnung Umformungen vorgenommen werden können, wie sie bei 1:32:12 zu sehen sind.

(Übrigens werden auf der angegebenen Wikipedia-Seite auch Pauli und Dirac erwähnt. Man sollte sich im Zusammenhang damit den o.g. “Pauli-und-Dirac-Witz” vielleicht nochmal genauer anhören …)

> Hier ist die Methode von Lenny noch mal von Lubos

… sicherlich: Luboš (Luboš Motl) …

> erklärt in Schriftform, und wie er sagt hat das nix mit der Zeta Funktion zu tun.
> https://motls.blogspot.de/2011/07/why-is-sum-of-integers-equal-to-112.html?m=1

Genau!, Danke — ich wusste doch, dass ich erst neulich über die “Exponential regulator method” gelesen hatte, und mir leider den genauen Begriff nicht gemerkt hatte, und/oder wo ich davon gelesen hatte; und gestern (bis #46, 26. Januar 2014) u.a. auf Wikipedia nicht mehr fündig wurde.

Man sollte Luboš eigentlich zutrauen, dass er sowohl die gedankliche Beweglichkeit als auch das technisch-schriftsetzerische Vermögen besäße, um

” $\, \stackrel{\text{reg}}{=} \,$ ”

dort hin zu schreiben, wo es hingehört.
(Lenny kann man sowas wohl nicht guten Gewissens vorwerfen. Aber bei Luboš, und ebenso bei Thilo, vermutet man eben einen absichtlichen Gag.)
#55 MisterX
27. Januar 2014

Ja genau, alles bestimmt ein Gag, überhaupt nicht ernst gemeint. Ich glaub hier kann man die Diskussion beenden, das wird sonst so eine Diskussion wie mit Kreationisten. Was nicht sein darf, darf nicht sein.
#56 MisterX
27. Januar 2014

Die Richtige Antwort ist, die Summe der natürlichen Zahlen ist einfach -1/12
#57 Frank Wappler
https://www.aip.org/history/ohilist/4944.html#Was_doch_solch_ein_Eifer
27. Januar 2014

MisterX schrieb (#56, 27. Januar 2014):
> die Summe der natürlichen Zahlen ist einfach -1/12

Dem lässt sich hier wohl am deutlichsten anhand des Schlusssatzes des obigen ScienceBlog-Artikels widersprechen:

Thilo schrieb (Januar 19, 2014):

Der Punkt ist natürlich, dass ζ(s) eben nur für Re(s)>1 auf diese Weise definiert war, für andere Werte von s divergiert die Reihe und der Wert der analytischen Fortsetzung hat nichts mit dem (nicht existenten) Wert der unendlichen Reihe zu tun.
#58 Frank Wappler
https://skinning.another.cat
28. Januar 2014

Ergänzung:
Um nochmals (vgl. #39, 25. Januar 2014) darauf zurückzukommen, dass
TSK schrieb (#42, 22. Januar 2014):
> Es ist also keineswegs eindeutig, dass das Symbol “+” im Video

… bzw. in der beanstandeten Formel “1+2+3+4+5+6+… = -1/12” …

> die natürliche Summe darstellt.

Während es sicherlich indiskutabel ist, dass das Symbol “+”, das in der fraglichen Formel (mehrfach) jeweils zwischen zwei natürlichen Zahlen steht, in diesem Zusammenhang irgendetwas anderes bedeuten würde als schlicht die für natürliche und ganz analog für komplexe Zahlen definierte Summe von jeweils zwei Summanden,
wobei sich

“a+b+c usw.” natürlich als
“(a+b)+c usw.” versteht,

und es natürlich ganz ausgeschlossen ist, dass “der rechte Term der Formel”, also
“-1/12”
irgendetwas anderes bedeuten würde, als die entsprechende negative rationale Zahl,

ist es natürlich stattdessen denkbar, dass (in bestimmten Zusammenhängen und/oder Notationsversuchen) “der linke Term der Formel”, also der gesamte Ausdruck
“1+2+3+4+5+6+…”
gar nicht den (nicht existenten) Wert der schlichten unendlichen Reihe bedeuten soll,
also gar nicht schlicht
$\latex \sum\limits_{n = 1}^{\infty}$,

sondern “etwas” anderes, dessen Wert tatsächlich existiert und (im einfachen, üblichen, strikten Sinne) gleich der Zahl -1/12 ist.

Die Notation für ein solches “Etwas” wäre dann selbstverständlich richtiger Weise anders als “1+2+3+4+5+6+…” bzw.
anders als $\latex \sum\limits_{n = 1}^{\infty} n$, bzw.
anders als $\latex \displaystyle \sum\limits_{\mathbb N}$,

sondern stattdessen z.B. ( entsprechend https://physics.stackexchange.com/a/66486 ) als

$\latex \displaystyle \sum\limits_{\mathbb{N}, \, Regularized}$,

oder durch Notation entsprechend https://math.stackexchange.com/questions/251972/meaning-of-equality-in-zeta-regularization?rq=1#comment554525_251991
je nachdem ob und welche Summations-Methode zutrifft.
#59 Swanhild Bernstein
31. Januar 2014

Also als Zusammenfassung,
1+2+… ist nicht -1/12,
trotzdem gibt es verschiedene Erklärungen wie man, auch mathematisch auf diesen Wert kommt.
Die erste Methode ist die Zeta-Funktion, wie hier schon beschrieben. Die zweite Methode ist die Summation nach Ramanujan. Auch hier besteht die Idee darin, einer im üblichen Sinne divergenten Reihe einen Wert zu zuordnen, so wie man es auch mit der Cesaro- oder Abel-Summation tut.
Beide Methoden sind mathematisch exakt.
Bei Numberphile wurde dagegen mit divergenten Reihen “klassisch” gerechnet, das geht so nicht. Insbesondere die Zuordnung 1-1+1-1+… = 1/2 entspricht der Cesaro-Summation und damit auch der Abel-Summation, aber eben nicht der Definition einer konvergenten Reihe.
#60 Thilo
15. Februar 2014

Jetzt gibt es noch ein zweites Video, dreimal so lang wie das erste, in dem alles aufgeklart wird:
https://youtu.be/E-d9mgo8FGk
#61 KIAS-Kalender Dezember 2014 – Mathlog
2. Dezember 2014

[…] es darum, weshalb die paradoxe Gleichung Sinn macht – darüber hatten wir im Januar mal was geschrieben. (Übrigens der meistgelesene Mathlog-Artikel bisher in diesem Jahr.) Ein anderes Beispiel […]
#62 Troost
Lüdenscheid
12. Mai 2015

Also, man sollte für einen korrekten mathematischen Beweis auf eine solche Summenbildung auch nur mathematische Operationen anwenden, die erlaubt sind. Ansonsten kann ich auch beweisen, dass 1 = 2 ist, nämich, indem ich zu Recht behaupte:
1 x 0 = 2 x 0 und dann beide Seiten durch 0 teile:
q.e.d:
1 = 2
Nene, das ist eben nicht erlaubt. Darum ist dieser “Beweis” verkehrt.
Was weiß ich über die Summe der natürlichen (ganzen, positiven) Zahlen?

Nun, ersten kenne ich die Formel des Ergebnisses:
S(n) = 1 + 2 + 3 + 4 + …. + n = n*(n+1)/2

Zweitens kenne ich die Differenz zwischen zwei verschieden langen Summenreihen:

S(n) – S(n+1) = n

So, das kenne ich. Nun gehe ich wie folgt vor, um herauszufinden, wohin diese Summe bei Summation ins Unendliche sich hinbewegen wird:

S(n) – S(n-1) = n
lim (n -> ∞) [S(n)-S(n-1)] = lim(n -> ∞)[n] = ∞

d.h. die Differenz der Summe (aller Glieder) – der Summe (ausgenommen des letzten Gliedes) strebt mit Anzahl der Summenglieder gegen ∞. Somit ist die Summe von unendlich vielen Summanden immer größer als die Summe von weniger als unendlich vielen Summanden, und damit ist diese Summe natürlich auch größer als die Summe aus nur einem Summanden, nämlich 1. (mathematisch: S(n) > S(m) für jedes m<n) Nun ist aber -1/12 definitiv < 1. Somit widerspricht das Ergebnis dem Postulat, dass die Summe mit der Anzahl der Summenglieder stetig ansteigend ist.
Alle anderen Rechentricks sind Augenwischerei und mathematisch nicht korrekt (siehe mein Beispiel). Und das Beispiel im Video geht schon von dem falschen Axiom aus,. dass die Summe 1+-1+1+-1….. für unendlich viele Zahlen dieser Wechselfolge 1/2 sei. Denn zu keinem Zeitpunkt ist diese Summe 1/2 sondern entweder 0 oder 1. Und wenn ich schon eine falsche Vorgabe mache, werde ich auch ein falsches Ergebnis erhalten: Müll im Input = Müll im Output, das kennt man aus der Computerwissenschaft.
#63 rolak
13. Mai 2015

Also, Lüdenscheider Troost, wenn Du den Artikel auch nur schmalanfänglich gelesen hättest, wäre Dir eventuell klar geworden, daß Dein Kommentar sinnleer ist.

Müll im Input = Müll im Output

..das kennt man nicht aus der Computerwissenschaft, da es sich dort GIGO nennt und keine Ortsangabe, sondern eine Prozeßbeschreibung ist – was aber selbstverständlich auch keine universelle Regel ist, siehe Kompost oder Recycling.
#64 Thilo
28. Februar 2017

https://youtu.be/sD0NjbwqlYw
#65 Thilo
21. Juli 2017

https://images.math.cnrs.fr/La-somme-des-entiers.html?lang=fr
#66 emballages plastique
2. Juni 2018

Merci pour votre message

https://www.fatipack.com
#67 Clelia Hollingshead
4. Januar 2019

I really like your writing style, good info , thankyou for putting up : D.

https://twitter.com/katekdesigns/status/987114059756646400
#68 mackage jackets
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4. Dezember 2019

1 2 3 4 5 6 … = -1/12 – Mathlog