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Ganz viele Tripel-Produkte

Von / 28. Februar 2014 / 2 Kommentare
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Wieviele unterschiedliche Paar-Summen kann man aus einer bestimmten Anzahl ganzer Zahlen bilden?

Aus zwei Zahlen a und b kann man offensichtlich drei Paar-Summen bilden: a+a, a+b und b+b und die sind auch alle drei unterschiedlich, wenn a und b unterschiedlich waren.

Bei drei Zahlen a, b, c ist es schon nicht mehr so klar: aus
1, 3, 5
kann man nur 5 Paar-Summen bilden:
2, 4, 6, 8, 10,
während man aus
1, 3, 6
insgesamt 6 Paar-Summen hat, nämlich
2, 4, 6, 7, 9, 12.
Der Grund für die unterschiedliche Anzahl: im ersten Fall war a+c=b+b, deshalb eine Paar-Summe weniger.

Man überlegt sich leicht, dass das bei drei Zahlen $latex a immer so ist: man hat fünf Paar-Summen, wenn a+c=b+b (also wenn a,b,c eine arithmetische Folge bilden) und man hat sechs Paar-Summen, wenn a+c\not=b+b.

Ähnlich sieht es dann für N ganze Zahlen a_1,\ldots,a_N aus: die minimal mögliche Anzahl unterschiedlicher Paar-Summen 2N-1 bekommt man nur dann, wenn die Zahlen a_1,\ldots,a_N eine arithmetische Folge bilden.

Das ist natürlich noch nicht das Ende der Geschichte. Ein Satz von Freiman (1964) sagt: wenn die Anzahl der Paar-Summen kleiner als cN ist, dann gibt es innerhalb der Zahlenfolge eine n-dimensionale verallgemeinerte arithmetische Folge der Länge c^\prime N wobei n und c^\prime nur von c (und nicht von N) abhängen.

Im März-Heft der Annals of Mathematics erscheint jetzt ein Artikel von Alexander Razborov, der dieses Theorem auf Folgen von Elementen freier Gruppen (statt Folgen ganzer Zahlen) verallgemeinert.

Freie Gruppen

Eine freie Gruppe (mit 2 Erzeugern a und b) besteht aus allen Worten, die man aus a,b,a-1 und b-1 bilden kann (wobei eventuell hintereinander vorkommende aa-1 etc. herauszukürzen sind). Die Multiplikation zweier Worte wird durch Hintereinanderschreiben realisiert: das Produkt von ab2a und b2a17 ist ab2ab2a17, das Produkt von ab2a und a-2b2a5 ist ab2a-1b2a5.

Man kann sich die Elemente der freien Gruppe als Ecken eines Baumes angeordnet denken wie oben im Titelbild.

(Analog kann man auch freie Gruppen mit mehr als 2 Erzeugern definieren. Die freie Gruppe mit 1 Erzeuger ist die Gruppe der ganzen Zahlen \bf{Z}.)

Aus irgendwelchen Gründen funktioniert eine analoge Theorie (zum Satz von Freiman) im Fall nichtabelscher Gruppen nicht für Produkte von Paaren, aber für Tripel und auch für 4-Tupel etc. Es wurden für verschiedene Klassen nichtabelscher Gruppen G Abschätzungen für die (Mindest-)Anzahlen unterschiedlicher Produkte abc aus den verschiedenen Elementen a,b,c einer endlichen Teilmenge A\subset G bewiesen.

Razborovs Arbeit liefert nun im Fall freier Gruppen die bestmögliche Abschätzung für die Mindestanzahl unterschiedlicher Produkte abc. Er beweist folgenden Satz:

Main Theorem.: Let A be a finite subset of a free group Fm with at least two noncommuting elements. Then
\vert A\circ A \circ A\vert\ge\frac{\vert A\vert^2}{(log\vert A\vert)^{O(1)}}.

Razborov, A. (2014). A product theorem in free groups Annals of Mathematics, 179 (2), 405-429 DOI: 10.4007/annals.2014.179.2.1

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Kommentare (2)

  1. #1 ulfi
    28. Februar 2014

    Interessant. Aber wie immer bei rein algebraischen Resultaten sehr abstrakt und schwer nachvollziehbar.

    Trotzdem würde ich gerne mehr Mathematik verstehen. Gerade sitze ich daran, über ein Paper über reproducing kernel banach spaces zu verstehen und versage auf geradezu groteske art und Weise. Es ist schade, dass es so schwer ist, tiefer in die Mathe einzusteigen. Die hierarchisch Struktur ist zwar schön und erhebend, aber nur wenn maan sich drinnen auskennt.

    Achja…

  2. #2 Kaye Gallimore
    21. Juni 2019

    Is downloading a copyright content through rapidshare & megaupload is illegal in uk?