Vor 5 Jahren zum 130. hatten wir nur einen, sagen wir mal, wissenschaftssoziologischen Beitrag (Einstein und die Cranks, die sich daraus entwickelnde Diskussion dürfte wohl interessanter gewesen sein als der Artikel), da sollten wir heute zum 135. Geburtstag wohl abwechslungshalber auch mal Mathe/Physik verlinken.
Die allgemeine Relativitätstheorie wird ja gern mit dem obigen Bild von Kugel und Tuch erklärt: eine schwere Kugel verändert die Geometrie des Tischtuchs, die kürzesten Wege (auf denen sich zum Beispiel das Licht bewegt) werden dadurch nicht mehr die Geraden, sondern gekrümmte Linien auf dem gekrümmten Tuch. Auf eine ähnliche Weise verändern schwere Massen die Geometrie der Raumzeit und mit ihr die Bahn des Lichtes.
Mathematisch beschreibt man die Geometrie der Raum-Zeit durch eine Semi-Riemannsche Metrik (auf einer 4-dimensionalen Mannigfaltigkeit) und durch eine Gleichung für die Komponenten ihres Krümmungstensors, die Einsteinschen Feldgleichungen. Wer zwei Stunden Zeit hat, kann sich deren Herleitung in diesem Video “für Beginner” (nicht ganz wörtlich gemeint) zu Gemüte führen.
Die Gravitation wird also durch die Krümmung einer pseudo-Riemannschen Metrik auf der Raum-Zeit beschrieben, welche durch die Einsteinschen Feldgleichungen
mit dem Energie-Impuls-Tensor in Zusammenhang gebracht wird. Im Vakuum, wenn der Energie-Impuls-Tensor verschwindet, bedeutet diese Gleichung einfach, dass die Ricci-Krümmung ein konstantes skalares Vielfaches der Metrik ist. (Man spricht auch von “konstanter Ricci-Krümmung”, aber natürlich handelt es sich bei der Ricci-Krümmung nicht um eine Zahl, sondern um einen Tensor.)
(Pseudo-)Riemannsche Metriken mit “konstanter Ricci-Krümmung” werden deshalb in der Differentialgeometrie als Einstein-Metriken bezeichnet.
Einige Einstein-Metriken wie die Schwarzschild-Metrik werden in der Science Fiction-Literatur gerne mal als mögliche Weltmodelle präsentiert und es ist natürlich grundsätzlich richtig, dass nur diejenigen 4-dimensionalen Mannigfaltigkeiten als Weltmodell in Frage kommen, auf denen es eine Einstein-Metrik gibt.
Die Frage, welche Mannigfaltigkeiten Einstein-Metriken zulassen, beschäftigt die Mathematiker aber nicht nur in 4 Dimensionen.
In Dimensionen sind Einstein-Metriken dasselbe wie Metriken konstanter Schnittkrümmung und die Frage nach deren Existenz wurde durch die von Perelman bewiesene Geometrisierungsvermutung (bzw. in Dimension 2 schon von Riemann, Koebe und Poincaré) beantwortet. In höheren Dimensionen hat man viele Einzelresultate, unter anderem gibt es ein von einem Autorenkollektiv unter dem Namen “Arthur Besse” veröffentlichtes Buch und auch immer wieder neue Resultate, aber wohl noch kein kohärentes Gesamtbild (und sogar die noch nicht widerlegte Vermutung, dass alle Mannigfaltigkeiten der Dimension
eine Einstein-Metrik tragen könnten). Anders als in der Physik sind in der Mathematik also noch viele Fragen offen.
PS: Wenn das jetzt zuviel Mathematik war, zum wissenschaftssoziologischen Aspekt der Relativitätstheorie kommt nachher auch noch was. https://scienceblogs.de/mathlog/2014/03/14/grenzziehungsprozesse-im-wissenschaftsbetrieb/
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