Als ersten Ansatz kann man Darstellungen von als Holonomien von flachen
-Bündeln über
sehen und dann die Theorie der charakteristischen Klassen solcher Bündel anwenden. Für kompakte Lie-Gruppen
reichen nach Atiyah-Bott charakteristische Klassen bereits aus, um alle Zusammenhangskomponenten von
zu unterscheiden.
Charakteristische Klassen reichen auch zur Unterscheidung der Zusammenhangskomponenten von : es gibt
Zusammenhangskomponenten, die durch die möglichen Werte der Eulerzahl unterschieden werden. (Gemäß der Milnor-Wood Ungleichung kann die Eulersche Zahl eines flachen Bündel nur ganzzahlige Werte zwischen
und
annehmen. Die beiden Maximalwerte entsprechen den diskreten Darstellungen, die in der Teichmüller-Theorie und der Theorie der hyperbolischen Flächen untersucht werden.)
Aber für andere nichtkompakte Lie-Gruppen sind charakteristische Klassen nicht ausreichend. Zum Beispiel
hat 3 Zusammenhangskomponenten, von denen zwei triviale charakteristischen Klassen haben. Eine der beiden (heute als Hitchin-Komponente bezeichnet) enthält die Hintereinanderausführungen
von diskreten Darstellungen mit der einzigen irreduziblen Darstellung
, während die andere die Hintereinanderausführungen der diskreten Darstellungen mit der offensichtlichen reduziblen Darstellung
enthält. Ähnliche Ergebnisse gelten auch für andere nichtkompakten Gruppen, insbesondere gibt es immer eine Hitchin-Komponente.
Die Topologie der Hitchin-Komponente wird sehr erfolgreich mit Hilfe von Higgs-Bündeln untersucht. Aber dieser Ansatz zeigt nicht wirklich, was die Hitchin-Darstellungen von anderen Darstellungen unterscheidet. Dafür wurden aber verschiedene andere Ansätze und Beschreibungen in den letzten Jahren gefunden. Kombinatorisch: Ideen aus der Theorie der Cluster-Algebren liefern Koordinaten auf Darstellungsvarietäten so, dass Hitchin-Darstellungen als “positive Darstellungen” (jene mit positiven Koordinaten) beschrieben werden können. Dynamisch: Ideen aus der Theorie der geodätischen Flüsse führen zu einer Definition von “Anosov-Darstellungen” und es wurde bewiesen, dass die Hitchin-Darstellungen genau die “hyperkonvexen Anosov-Darstellungen” sind. Geometrisch beschrieben Choi und Goldman Hitchin-Darstellungen in als diejenigen, die Holonomien konvexer projektive Strukturen sind. Es gibt weitere Ansätze für spezifische Lie-Gruppen, z.B. für einige komplexe Lie-Gruppen
werden Hitchin-Darstellungen als gewisse Invarianten maximierende “maximale Darstellungen” beschrieben.
Vom 10. bis 14. November fand am KIAS ein Workshop über “Geometrische Strukturen und Darstellungsvarietäten” statt, organisiert von Sungwoon Kim (Center of Mathematical Challenges) und Gyeseon Lee (Universität Heidelberg). Das Programm umfasste drei Minikurse: über Higgs Bündel (Ana Péon Nieto, Heidelberg), konvex projektive Strukturen (Sam Ballas, Santa Barbara) und maximale Darstellungen (Beatrice Pozzetti, ETH Zürich), und darüber hinaus eine Reihe von Einzelvorträgen. Wie zu erwarten, war der Workshop ein großer Erfolg mit interessanten Vorträgen, zum Nachdenken anregenden Diskussionen und erstaunlichen Einsichten. Dank an die Organisatoren und Teilnehmer!
Dieser Artikel ist eine Zweitverwertung (leicht redigierte Googleübersetzung) eines für unseren Instituts-Newsletters geschriebenen Reports.
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