Darstellungstheorie von Flächengruppen

Darstellungen, d.h. Homomorphismen einer gegebenen Gruppe in eine algebraische Gruppe wie oder , gehören sicher zu den am meistuntersuchten Objekten in der Mathematik. Die Methoden variieren für verschiedene Klassen von Gruppen , Darstellungen von symmetrischen Gruppen, zum Beispiel, werden durch ihre Young-Tableaux klassifiziert, während die Darstellungstheorie von kompakten abelschen Gruppen (wie ) harmonische Analyse verwendet .

Eines der ersten Ergebnisse der Darstellungstheorie war die Klassifizierung der Darstellungen von halbeinfachen Lie-Gruppen durch Élie Cartan (1913). Zum Beispiel die spezielle lineare Gruppe hat eine irreduzible Darstellung in jeder Dimension, geometrisch beschrieben durch die Eigenschaft, dass die Veronese-Einbettung

der projektiven Geraden in den projektiven Raum äquivariant bezüglich ist.

Was ist mit Darstellungen von unendlichen, aber endlich erzeugten Gruppen, sozusagen: 0-dimensionalen Lie-Gruppen? Das erste Beispiel, das in den Sinn kommt, , die freie Gruppe auf Erzeugern, hat natürlich eine sehr einfach zu beschreibende Darstellungstheorie: ihre Darstellungen sind eindeutig durch die Bilder der Erzeuger bestimmt, man hat also eine Bijektion .

Aber das war nur ein außergewöhnlich einfacher Fall. Als ein weniger triviales Beispiel kann man die sogenannten “Flächengruppen” anschauen:

,

also Erzeuger und eine Relation, die besagt, dass ein bestimmtes Produkt von Kommutatoren trivial sein soll.

Wenn man die Darstellungen von in eine algebraische Gruppe (sagen wir ) beschreiben will, dann sind die Darstellungen natürlich wieder durch die Bilder der Erzeuger festgelegt, die jedoch nicht beliebig gewählt werden können, sondern der Bedingung genügen müssen. Dies ist eine polynomiale Gleichung und damit entsprechen Darstellungen von also einer algebraischen Untervarietät von , der sogenannten Darstellungsvarietät.

Analog wird die Darstellungsvarietät für eine beliebige endlich erzeugte Gruppe definiert durch die zu erfüllenden (polynomialen) Relationen zwischen den Bildern der Erzeuger. Das scheint eine einfache Beschreibung sein, aber im Allgemeinen ist es schwer, Aussagen über diese Varietät zu machen. Zum Beispiel, ist es schon schwierig, die Anzahl der Zusammenhangskomponenten zu bestimmen.

Glücklicherweise haben die Gruppen eine weitere, intuitivere Beschreibung: sie kommen in der Topologie als Fundamentalgruppe von , der Brezel mit Löchern (formal: der geschlossenen, orientierten Fläche vom Geschlecht ) vor. Zum Beispiel ist die Fundamentalgruppe des Torus.

Diese Beschreibung ermöglicht es, Methoden aus der Geometrie und Topologie zu verwenden, um die Darstellungen dieser Flächengruppen untersuchen und diese topologische Herangehensweise an die Darstellungstheorie der Flächengruppen ist in jüngerer Zeit ein aktives Forschungsgebiet. (Man hofft, dass es als Blaupause für die Untersuchung von Darstellungen anderer geometrisch definierten Klassen von Gruppen dient, wie beispielsweise 3-Mannigfaltigkeits-Gruppen oder hyperbolische Gruppen.) Dieser Ansatz zur Darstellungstheorie der Flächengruppen war das Thema eines Workshops am KIAS im November 2014. Zur Einführung seiner Themen beschreiben wir kurz den Stand der Technik auf diesem Gebiet.

Als ersten Ansatz kann man Darstellungen von als Holonomien von flachen -Bündeln über sehen und dann die Theorie der charakteristischen Klassen solcher Bündel anwenden. Für kompakte Lie-Gruppen reichen nach Atiyah-Bott charakteristische Klassen bereits aus, um alle Zusammenhangskomponenten von zu unterscheiden.

Charakteristische Klassen reichen auch zur Unterscheidung der Zusammenhangskomponenten von : es gibt Zusammenhangskomponenten, die durch die möglichen Werte der Eulerzahl unterschieden werden. (Gemäß der Milnor-Wood Ungleichung kann die Eulersche Zahl eines flachen Bündel nur ganzzahlige Werte zwischen und annehmen. Die beiden Maximalwerte entsprechen den diskreten Darstellungen, die in der Teichmüller-Theorie und der Theorie der hyperbolischen Flächen untersucht werden.)

Aber für andere nichtkompakte Lie-Gruppen sind charakteristische Klassen nicht ausreichend. Zum Beispiel hat 3 Zusammenhangskomponenten, von denen zwei triviale charakteristischen Klassen haben. Eine der beiden (heute als Hitchin-Komponente bezeichnet) enthält die Hintereinanderausführungen

von diskreten Darstellungen mit der einzigen irreduziblen Darstellung , während die andere die Hintereinanderausführungen der diskreten Darstellungen mit der offensichtlichen reduziblen Darstellung enthält. Ähnliche Ergebnisse gelten auch für andere nichtkompakten Gruppen, insbesondere gibt es immer eine Hitchin-Komponente.

Die Topologie der Hitchin-Komponente wird sehr erfolgreich mit Hilfe von Higgs-Bündeln untersucht. Aber dieser Ansatz zeigt nicht wirklich, was die Hitchin-Darstellungen von anderen Darstellungen unterscheidet. Dafür wurden aber verschiedene andere Ansätze und Beschreibungen in den letzten Jahren gefunden. Kombinatorisch: Ideen aus der Theorie der Cluster-Algebren liefern Koordinaten auf Darstellungsvarietäten so, dass Hitchin-Darstellungen als “positive Darstellungen” (jene mit positiven Koordinaten) beschrieben werden können. Dynamisch: Ideen aus der Theorie der geodätischen Flüsse führen zu einer Definition von “Anosov-Darstellungen” und es wurde bewiesen, dass die Hitchin-Darstellungen genau die “hyperkonvexen Anosov-Darstellungen” sind. Geometrisch beschrieben Choi und Goldman Hitchin-Darstellungen in als diejenigen, die Holonomien konvexer projektive Strukturen sind. Es gibt weitere Ansätze für spezifische Lie-Gruppen, z.B. für einige komplexe Lie-Gruppen werden Hitchin-Darstellungen als gewisse Invarianten maximierende “maximale Darstellungen” beschrieben.

Vom 10. bis 14. November fand am KIAS ein Workshop über “Geometrische Strukturen und Darstellungsvarietäten” statt, organisiert von Sungwoon Kim (Center of Mathematical Challenges) und Gyeseon Lee (Universität Heidelberg). Das Programm umfasste drei Minikurse: über Higgs Bündel (Ana Péon Nieto, Heidelberg), konvex projektive Strukturen (Sam Ballas, Santa Barbara) und maximale Darstellungen (Beatrice Pozzetti, ETH Zürich), und darüber hinaus eine Reihe von Einzelvorträgen. Wie zu erwarten, war der Workshop ein großer Erfolg mit interessanten Vorträgen, zum Nachdenken anregenden Diskussionen und erstaunlichen Einsichten. Dank an die Organisatoren und Teilnehmer!

Dieser Artikel ist eine Zweitverwertung (leicht redigierte Googleübersetzung) eines für unseren Instituts-Newsletters geschriebenen Reports.