KIAS-Kalender Januar 2015

Von Thilo / 2. Januar 2015 / 18 Kommentare

Kreise in Graphen, Primzahlen und auf den Kopf gestelltes, auch diesen Monat wieder im KIAS-Mathekalender.

Vieles ist diesmal selbsterklärend.

Wenig bekannt dürfte wohl das Brocardsche Problem sein, welches nach den Lösungen von n!+1=m² in den natürlichen Zahlen fragt. Die einzigen bekannten Lösungen sind (4,5), (5,11) und (7,71).

Den Eintrag bei der 15 bekommt man mit , was man wegen auch umschreiben kann als .

16 auf den Kopf gestellt gibt 91=7×13.

Den Eintrag bei der 17 verstehe ich nicht.

Das Icosian Game bei der 20 (Bild unten) ist ein 1857 von William Rowan Hamilton erfundenes Spiel, bei dem man die 20 Punkte des Graphen in einer Rundreise genau einmal besuchen und wieder zum Ausgangspunkt zurückkehren soll. (Ich nehme an, dass auf dieses Spiel der Begriff der Begriff Hamiltonkreis zurückgeht.)

Die Einträge bei der 25 sind Werte der Primzahlfunktion, also Anzahlen von Primzahlen unterhalb einer Zahl. Zum Beispiel gibt es 25 Primzahlen kleiner 100.

Die Summe der Primzahlonversen divergiert bekanntlich gegen Unendlich, dies aber sehr langsam: erst die 29-te Partialsumme überschreitet zumindest die 2.

Bei den anderen Einträgen gibt es eigentlich nicht viel zu erklären, wobei es mich durchaus noch interessieren würde, wie man die Primzahleigenschaft von 27!+1 beweist.

Die anderen Blätter:
Dezember
November
Oktober
September
August
Juli und an dessen Ende die Links zu März-Juni.

Kommentare (18)

#1 rolak
2. Januar 2015

verstehe ich nicht

Kann ich mich vorbehaltlos anschließen.. Aber Fragen gäbs: Kann man eigentlich davon ausgehen, daß ‘|’ wie auch 6 Tage später für ‘ist Teiler von’ steht, obwohl die 17 davor ‘über den Dingen’ schwebt? Was bedeutet es, daß die beiden Ellipsen gar keine sind, sondern zwischen Punkt 2 und 3 eine deutlich größere Lücke ist (also eher ‘(1)..(.17)’ bzw ‘(17)..(.7)’, jeweils mit der geschweiften Klammer drüber)?
#2 Jakob H.
2. Januar 2015

Den Eintrag bei der 17 verstehe ich nicht.

Das soll wohl heißen, dass, die Zahlen 111111111111111117 (17 Einsen), und 177777777777777777 (17 Siebener) Vielfache von 17 sind.
#3 Thilo
2. Januar 2015

Würde mich überraschen, wenn das stimmt. Dann müßten die 16-stelligen Zahlen 11…11 und 77…77 durch 17 teilbar sein, wofür ich keinen Grund sehe. Dummerweise kann mein Rechner nicht mit solch großen Zahlen exakt rechnen.
#4 HF(de)
2. Januar 2015

1111111111111111 / 17= 65359477124183
7777777777777777 / 17 = 457516339869281
sagt calc unter Win 7. Ich hab jetzt nicht selbst nachgerechnet, sollte aber stimmen, denke ich.
#5 rolak
2. Januar 2015

die 16-stelligen Zahlen

Siehstema, das kommt von das. Meineserachtens schweifen die Klammern über sämtliche Ziffern, was ich (bei angenommener Ellipse) blauäugig unbedarft als ’17stellige Zahl’ interpretierte – was ohne die ’17’ dann jeweils 15Stelliges übrigließe.
Wenn nun aber unter der Hand und eigentlich völlig unmotiviert nur über gleiche Ziffern geschweift gelesen werden soll, klappts beim einen und auch beim anderen.
#6 Thilo
2. Januar 2015

Anscheinend stimmt es doch, allerdings mit 15-stelliger 11…11:
111111111111111-102000000000000=9111111111111
9111111111111-8500000000000=611111111111
und jetzt schafft es der Taschenrechner 6111111111111/17=359477124183

Also ist 11111111111111117 (jetzt mit 16 Einsen, eine 17-stellige Zahl) durch 17 teilbar
#7 Thilo
2. Januar 2015

Sorry, hat sich eben mit den beiden vorhergehenden Kommentaren überschnitten.
#8 Stefan Wagner
https://demystifikation.wordpress.com/2014/12/30/kongresstage-b10-u-b11/
2. Januar 2015

27!+1 ist 10888869450418352160768000001.

Man probiert alle Primzahlen bis Wurzel(27!+1) durch und kann dann sagen, ob es einen Teiler gab – wenn nicht, ist der Ausdruck prim. 🙂
#9 rolak
2. Januar 2015

Man probiert

Doch nicht mit Thilos kurzdisplayigem Rechner, Stefan 😉 Aber wie heißt es im Volksmund? Probieren lassen geht über probieren: outsourced.
#10 fq
3. Januar 2015

Die Diskussion zur Teilbarkeit bei 1…17 und 17…7 hat mich jetzt etwas verwirrt.
Die jeweils 17-stelligen Zahlen (16 Einser bzw. Siebener) sind NICHT durch 17 teilbar.
Die jeweils 18-stelligen Zahlen (17 Einser bzw. Siebener) SIND durch 17 teilbar.

Dass die 16-stelligen Zahlen 11…11 und 77…77 (wie übrigens auch 22…22, 33….33, 44…44 bis 99…99)
durch 17 teilbar sind kann man auch ohne elektronische Rechenhilfen sofort mit der geometrischen Summenformel und dem kleinen Satz von Fermat sehen:

Bezeichnet d eine der Ziffern von 1 bis 9, so gilt für die 16-stellige Zahl dd…dd = d*(10^16-1)/(10-1).
Nach dem kleinen Satz von Fermat ist 10^16 kongruent zu 1 modulo 17, mit anderen Worten ist also 17 ein Teiler von 10^16-1.

Gibt es diesen schönen Kalender eigentlich auch für in Deutschland lebende Laien käuflich zu erwerben?
#11 Berndt Bartos
3. Januar 2015

Rechnungen mit großen Zahlen können auf der Mathematica-Website (https://mathworld.wolfram.com/) ausgeführt weden. Mit primeQ( ) kann hier auch die Primzahleigenschaft von Zahlen oder Ausdrüchen überprüft werden.
#12 EPS
Dresden
3. Januar 2015

KIAS Kalender
2015 = 13*5*31 (Produkt-Palindrom)

algorithmicschannel-dresden-guilin.net
#13 Frank Wappler
https://Cayley-Menger.recht.getan--damit.man.Winkel.messen.kann
5. Januar 2015

Thilo schrieb (Januar 2, 2015):
> Den Eintrag bei der 15 bekommt man mit $\text{Cos}[~15°~] = \sqrt{\frac{\text{Cos}[~30°~] + 1}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{1}{2} \sqrt{3} + 1}{2}}$ […]

Die Längen der zwei nicht beschrifteten Seiten des bei der 15 hingemalten Vierecks bekommt man

– falls dieses Viereck “eben” sein soll, und

– falls $~15°~$ das Maß der beiden Basiswinkel des gleichschenkligen Dreiecks ist (dessen anhand der Beschriftung ausdrücklich gleiche Schenkel beide die Länge “ $~2~$ ” haben)

als $2 \times 2~\text{Cos}[~15°~] = 2 \times 2~\sqrt{\frac{\frac{1}{2} \sqrt{3} + 1}{2}} = 2~\sqrt{\sqrt{3} + 2}$
für die Länge der Basisseite des gleichschenkligen Dreiecks,

sowie als
$2~\sqrt{\sqrt{3} + 2} ~ \text{Cos}[~15°~] + \sqrt{1 – (2~\sqrt{\sqrt{3} + 2})^2 ~ (1 – (\text{Cos}[~15°~])^2)} = 2~\sqrt{\sqrt{3} + 2} ~ \sqrt{\frac{\frac{1}{2} \sqrt{3} + 1}{2}} + \sqrt{1 – (2~\sqrt{\sqrt{3} + 2})^2 ~ (1 – {\frac{\frac{1}{2} \sqrt{3} + 1}{2})} = \sqrt{3} + 2 + \sqrt{ 1 - 1 } = \sqrt{3} + 2$
für die Länge der verbleibenden unbenannten vierten Seite des bei der 15 hingemalten Vierecks.

Da letztere Länge damit ausdrücklich gleich der Summe der Längen der beiden verbundenen mit “ $~2~$ ” bzw. “ $~\sqrt{3}~$ ” beschrifteten Seiten ist, sind diese beiden Seiten zueinander “gerade”; und das bei der 15 hingemalte Viereck ist entartet, d.h. eigentlich ein Dreieck.
#14 Frank Wappler
https://Cayley-Menger.recht.getan--damit.man.Winkel.messen.kann
5. Januar 2015

Thilo schrieb (Januar 2, 2015):
> Den Eintrag bei der 15 bekommt man mit $\text{Cos}[~15^{\circ}~] = \sqrt{\frac{\text{Cos}[~30^{\circ}~] + 1}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{1}{2} \sqrt{3} + 1}{2}}$ […]

Die Längen der zwei nicht beschrifteten Seiten des bei der 15 hingemalten Vierecks bekommt man

– falls dieses Viereck “eben” sein soll, und

– falls $~15^{\circ}~$ das Maß der beiden Basiswinkel des gleichschenkligen Dreiecks ist (dessen anhand der Beschriftung ausdrücklich gleiche Schenkel beide die Länge “ $~2~$ ” haben)

als $2 \times 2~\text{Cos}[~15^{\circ}~] = 2 \times 2~\sqrt{\frac{\frac{1}{2} \sqrt{3} + 1}{2}} = 2~\sqrt{\sqrt{3} + 2}$
für die Länge der Basisseite des gleichschenkligen Dreiecks,

sowie als
$2~\sqrt{\sqrt{3} + 2} ~ \text{Cos}[~15^{\circ}~] + \sqrt{1 - (2~\sqrt{\sqrt{3} + 2})^2 ~ (1 - (\text{Cos}[~15^{\circ}~])^2)} = 2~\sqrt{\sqrt{3} + 2} ~ \sqrt{\frac{\frac{1}{2} \sqrt{3} + 1}{2}} + \sqrt{1 - (2~\sqrt{\sqrt{3} + 2})^2 ~ (1 - \frac{\frac{1}{2} \sqrt{3} + 1}{2})} = \sqrt{3} + 2 + \sqrt{ 1 - 1 } = \sqrt{3} + 2$
für die Länge der verbleibenden unbenannten vierten Seite des bei der 15 hingemalten Vierecks.

Da letztere Länge damit ausdrücklich gleich der Summe der Längen der beiden verbundenen mit “ $~2~$ ” bzw. “ $~\sqrt{3}~$ ” beschrifteten Seiten ist, sind diese beiden Seiten zueinander “gerade”; und das bei der 15 hingemalte Viereck ist entartet, d.h. eigentlich ein Dreieck.
#15 Frank Wappler
https://je.vorhersehbarer.das.Formale--desto.sichtbarer.das.Inhaltliche
6. Januar 2015

Frank Wappler schrieb (#14; Januar 5, 2015):
> Die Längen der zwei nicht beschrifteten Seiten des bei der 15 hingemalten Vierecks bekommt man […]

Sollte sein:
Die Längen der nicht beschrifteten Seite sowie der nicht beschrifteten Diagonale des bei der 15 hingemalten Vierecks bekommt man

– falls $~15^{\circ}~ = \text{ArcCos}[~ \sqrt{\frac{\frac{1}{2} \sqrt{3} + 1}{2}} ~]$ das Maß der beiden Basiswinkel des gleichschenkligen Dreiecks ist (dessen anhand der Beschriftung ausdrücklich gleiche Schenkel beide die Länge “ $~2~$ ” haben)

als $2 \times 2~\text{Cos}[~15^{\circ}~] = 2 \times 2~\sqrt{\frac{\frac{1}{2} \sqrt{3} + 1}{2}} = 2~\sqrt{\sqrt{3} + 2}$
für die Länge der Basisseite des gleichschenkligen Dreiecks,

sowie als

$\sqrt{ 1^2 + (2~\sqrt{\sqrt{3} + 2})^2 - 2 \times 1 \times 2~\sqrt{\sqrt{3} + 2} \times ~\text{Cos}[~15^{\circ} + \text{ArcCos}[~ \frac{1^2 + 2^2 - (\sqrt{3})^2}{2 \times 1 \times 2} ~] ~] } =$

$\sqrt{ 1^2 + (2~\sqrt{\sqrt{3} + 2})^2 - 4~\sqrt{\sqrt{3} + 2} \times ~\text{Cos}[~15^{\circ} + \text{ArcCos}[~ \frac{1}{2} ~] ~] } =$

$\sqrt{ 1^2 + (2~\sqrt{\sqrt{3} + 2})^2 - 4~\sqrt{\sqrt{3} + 2} \times ~ \sqrt{ 1 - (\text{Cos}[~15^{\circ} ~])^2 } } =$

$\sqrt{ 1^2 + (2~\sqrt{\sqrt{3} + 2})^2 - 4~\sqrt{\sqrt{3} + 2} \times ~ \sqrt{ 1 - \frac{\frac{1}{2} \sqrt{3} + 1}{2} } } =$

$\sqrt{ 1 + 4~(\sqrt{3} + 2) - 2~\sqrt{\sqrt{3} + 2} \times ~ \sqrt{ 4 - (\sqrt{3} + 2) } } =$

$\sqrt{ 1 + 4~(\sqrt{3} + 2) - 2 } = \sqrt{3} + 2$

für die Länge der verbleibenden unbenannten Diagonale des bei der 15 hingemalten Vierecks.

Da letztere Länge damit ausdrücklich gleich der Summe der Längen der beiden verbundenen mit “ $~2~$ ” bzw. “ $~\sqrt{3}~$ ” beschrifteten Seiten ist, sind diese beiden Seiten zueinander “gerade”; und das bei der 15 hingemalte Viereck ist entartet, d.h. eigentlich ein Dreieck.
#16 Frank Wappler
https://p.s.
6. Januar 2015

Frank Wappler schrieb (#15; Januar 6, 2015):
> Die Längen der nicht beschrifteten Seite sowie der nicht beschrifteten Diagonale des bei der 15 hingemalten Vierecks bekommt man

> – falls $~15^{\circ}~ = \text{ArcCos}[~ \sqrt{\frac{\frac{1}{2} \sqrt{3} + 1}{2}} ~]$ das Maß der beiden Basiswinkel des gleichschenkligen Dreiecks ist (dessen anhand der Beschriftung ausdrücklich gleiche Schenkel beide die Länge “ $~2~$ ” haben)

und natürlich (nur)
– falls dieses Viereck “eben” sein soll.
#17 rankzero
8. Januar 2015

Die Primzahleigenschaft von 27!+1 taucht wohl nicht nur zur brutalen Anwendung heutiger Computeralgebrasysteme auf, sondern auch, weil dies noch bei W. Sierpinski [Elementary theory of numbers. Warszawa: Panstwowe Wydawnictwo Naukowe (1964; Zbl 0122.04402), p. 62] in der Diskussion zum Wilson-Satz dies explizit als ungelöst bezeichnet wurde.

Ein schöneres Argument als die brute force geht über die Ordnung der multiplikativen Gruppe.
#18 KIAS-Kalender (neue Version) Januar 2015 – Mathlog
31. Januar 2015

[…] hatte ich über das Kalenderblatt Januar 2015 ja schon geschrieben. Das war allerdings das angehängte Januar’15-Blatt der 2014er Ausgabe, deshalb hier noch […]