Neues über Irrfahrten

Eine Irrfahrt ist mathematisch gesehen folgendes: man startet in einem Punkt und macht dann eine Folge zufälliger Bewegungen.

In Formeln: man hat eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf der Gruppe aller Isometrien (Kongruenzabbildungen) unseres 3-dimensionalen euklidischen Raumes und wählt dann entsprechend dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung Abbildungen X₁, X₂, X₃, … mit denen man sich vom Startpunkt Y₀=x₀ nacheinander in die Punkte

Y₁:=X₁x₀, Y₂:=X₂X₁x₀, Y₃:=X₃X₂X₁x₀, …

bewegt.
Ausgehend von den Wahrscheinlichkeitsverteilungen der X_i kann man berechnen, mit welcher Wahrscheinlichkeit man nach einer Anzahl von Schritten in einem bestimmten Bereich ist.

“Klassisch” ist dieses Problem von Arnold und Krylov 1963 bearbeitet worden, die hatten allerdings nur Drehungen (und keine Verschiebungen) betrachtet und sich demzufolge nur auf einer Sphäre bewegt.

Bald danach wurden dann auch die allgemeineren Irrfahrten (beliebige Kongruenzabbildungen, also einschließlich Verschiebungen) untersucht. Die Resultate sind alle recht technisch zu formulieren, benötigen teils auch spezielle Voraussetzungen, im Wesentlichen besagen sie aber, dass sich die Wahrscheinlichkeitsverteilung von bei einer Gaußschen Glockenkurve einpendelt. (Das Bild zeigt eine 2-dimensionale Gauß-Verteilung.) Im 2- und 3-dimensionalen wurde das 1967 von Tutubalin bewiesen und in höheren Dimensionen 1973 von Gorostitza.

Diese Konvergenzaussage wird auch als Zentraler Grenzwertsatz bezeichnet. Als lokale Grenzwertsätze bezeichnet man Aussagen über die Geschwindigkeit der Konvergenz, also den Erwartungswert der Abweichung von der Normalverteilung. Es scheint, dass diese Frage für Irrfahrten im euklidischen Raum bisher nicht untersucht worden war trotz der schon lange bekannten Konvergenz gegen die Normalverteilung. In der im Januar-Heft der Annals of Mathematics erschienenen Arbeit Random walks in Euclidean space von P.P.Varju wird jetzt aber ein lokaler Grenzwertsatz für Irrfahrten im euklidischen Raum bewiesen:

Theorem 2 (Local Limit Theorem). Let X_i; Y_i and x₀ be as above. Suppose that Y₀ has finite moments of order d²+3d+1 and X_i are nondegenerate. Let f be any continuous and compactly supported function. Then there is and depending only on the distribution of X_i such that

Das ist nur die allgemeine Formulierung, in der Arbeit werden dann auch konkrete quantitative Fehlerabschätzungen bewiesen.
Pál Varjú, P. (2015). Random walks in Euclidean space Annals of Mathematics, 243-301 DOI: 10.4007/annals.2015.181.1.4