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Den Grenzwert \lim_{x\to 0}x^x kann man zum Beispiel mit der Substitution y=\ln(\frac{1}{x}) berechnen, die ihn in den Grenzwert \lim_{y\to\infty}e^{-\frac{y}{e^y}} überführt. Und dass der gegen 1 geht sieht man zum Beispiel mit der leicht zu beweisenden Ungleichung \frac{e^y}{y}>1+\frac{y}{2}.

Auch die Berechnung von \int_0^\pi\sin(x)=2 ist nicht schwer, wenn man die Stammfunktion kennt.

M_2=3 ist die erste Mersenne-Primzahl, d.h. Primzahl der Form 2^n-1. Es gibt noch eine Reihe weiterer und regelmäßig werden neue gefunden, zuletzt 2013. (Über einen älteren Fund hatten wir 2008 mal geschrieben.)

Das Bild bei der 4 spielt auf eine Szene aus dem Film Die Hard 3 an. Die beiden Protagonisten sollen genau 4 Gallonen abmessen, haben nur zwei Kanister zu 3 und 5 Gallonen zur Verfügung.

Sangakus sind japanische Holztafeln mit geometrischen Rätseln. Beim abgebildeten geht es offenkundig um das Verhältnis der Radien, das zwischen dem größten und kleinsten Kreis gerade 5 sein soll.

Die Gleichung bei der 11 würde ich für eine zufällige Koinzidenz halten. Die Fibonacci-Folge ist ja bekanntlich die Summe zweier geometrischer Folgen. Wenn man durch 10 dividiert, bekommt man zwei konvergente geometrische Reihen und die Summe ist 1/89. Dass 89 nun gerade F_{11} ist – ich sehe keinen tieferen Grund für diese Identität.

Warum die Summe der natürlichen Zahlen -1/12 ist hatten wir hier einmal erklärt. (Übrigens immer noch einer der meistgelesenen Artikel auf dem Mathlog.)

Ramanujan hatte 1916 eine Liste von 55 quadratischen Formen, die (jede) alle natürlichen Zahlen repräsentieren. (D.h. mit jeder dieser quadratischer Formen soll man durch Einsetzen ganzer Zahlen jede natürliche Zahl bekommen sollen.) Eine seiner quadratischen Formen war aber falsch: mit x^2+2y^2+5z^2+5w^2 kann man zwar alle anderen natürlichen Zahlen, aber nicht die 15 bekommen.

Noch bis in die 30er Jahre hatte man geglaubt, dass sich Quadrate nicht in kleinere Quadrate zerlegen lassen, die alle unterschiedliche Seitenlängen haben. Die kleinstmögliche Anzahl ist 21 und das Beispiel wurde erst 1978 von Duijvestijn gefunden.

Die 22 Pentahexes sind aus 5 Sechsecken zusammengesetzte Formen.
Und die 27 kommt in der Lösungsformel für kubische Gleichugnen vor.

Kommentare (3)

  1. #1 Bjoern
    4. April 2015

    Den Grenzwert bei der 1 hätte ich berechnet, indem ich x^x = e^(x ln x) schreibe, und dann den bekannten Grenzwert x ln x \to 0 f+ür x \to 0 benutze. (Den man z. B. mit der Regel von de l’Hospital berechnen kann.)

    Bei der neun ist offensichtlich der Feuerbach’sche Neunpunktekreis. 🙂

    Kannst du bitte noch was zur 24 sagen?

  2. #2 Thilo
    4. April 2015

    Das Leech-Gitter ist eine sehr effiziente Anordnung 24-dimensionaler Kugeln im 24-dimensionalen Raum, die es so in anderen Dimensionen nicht gibt. Man kann dort um die Einheitskugel herum 196560 weitere Kugeln vom Radius 1 so anordnen, dass sie alle die Einheitskugel berühren. (In Dimension 2 ginge das nur mit 6 Kreisen um den Einheitskreis herum, in Dimension 3 ginge es mit 12 Kugeln.)

  3. #3 Bjoern
    4. April 2015

    Danke!

    So langsam dämmert’s wieder – ich glaube, in dem Buch “Die Kepler’sche Vermutung: Wie Mathematiker ein 400 Jahre altes Rätsel lösten” wurde das irgendwo erwähnt.

    Das muss man sich aber nicht anschaulich vorstellen können, oder? 😉