Ramsey-Zahlen, Euler-Charakteristiken und das Stomachion.
Der Eintrag bei der 1 zeigt den Graphen von
![\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1](http://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Clim_%7Bn%5Cto%5Cinfty%7D%5Csqrt%5Bn%5D%7Bn%7D%3D1&bg=ffffff&fg=000&s=0 "\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1")
Der Eintrag bei der 2 zeigt die Eulersche Polyederformel: für einen konvexen Polyeder mit V Ecken, E Kanten und F Flächen hat man V-E+F=2. Mit heutiger Mathematik läßt sich das so begründen, dass konvexe Polyeder homöomorph zur Sphäre sind und die Euler-Charakteristik der Sphäre 2 ist. Siehe TvF 4.
Der Eintrag bei der 3 bezieht sich auf das 1796 von Gauss bewiesene Eureka-Theorem, demzufolge sich jede natürliche Zahl als Summe dreier Dreieckszahlen zerlegen läßt, eine der vielen unbewiesenen Vermutungen von Pierre de Fermat.
Der vollständige Graph auf 5 Ecken (Bild unten) läßt sich nicht kreuzungsfrei in die Ebene einbetten, beweisen kann man das zum Beispiel mit der Euler-Charakteristik.
Den Sinus von pi/9 kann man im Prinzip mittels der trigonometrischen Identität sin(3x)=3sin(x)-4sin3(x) berechnen, mit der Lösungsformel für kubische Gleichungen erhält man
![sin(\frac{\pi}{9})=2^{-\frac{4}{3}}(\sqrt[3]{i-\sqrt{3}}-\sqrt[3]{i+\sqrt{3}})](http://s0.wp.com/latex.php?latex=sin%28%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B9%7D%29%3D2%5E%7B-%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D%7D%28%5Csqrt%5B3%5D%7Bi-%5Csqrt%7B3%7D%7D-%5Csqrt%5B3%5D%7Bi%2B%5Csqrt%7B3%7D%7D%29&bg=ffffff&fg=000&s=0 "sin(\frac{\pi}{9})=2^{-\frac{4}{3}}(\sqrt[3]{i-\sqrt{3}}-\sqrt[3]{i+\sqrt{3}})")
Bei der 9 geht es um die fixpunktfreien Permutationen von 4 Elementen.
Die 14 zeigt das Stomachion, ein Puzzle, das sich auf sehr viele verschiedene Weisen zu einem Quadrat zusammensetzen läßt.
Eine Smith-Zahl ist eine zusammengesetzte Zahl, bei der die Summe ihrer Ziffern gleich der Summe aller Ziffern ihrer Primfaktoren ist. Nach der 4 ist die 22 die zweitkleinste.
Die verschiedenen Ramsey-Zahlen R(r,b) bei 6, 25, 28 sind jeweils die kleinsten Zahlen, so dass jeder vollständige Graph mit R(r,b) Knoten und blau/rot gefärbten Kanten entweder einen roten r-Teilgraphen oder einen blauen b-Teilgraphen enthält.
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