Der Prozessorhersteller Intel (bzw. seine Stiftung) vergibt jedes Jahr (in Zusammenarbeit mit den Fachgesellschaften) Preise für Schülerarbeiten. Von der Acoustic Society of America wurde bspw. dieses Jahr die Arbeit eines koreanischen Schülers “Generation of Beat Sound of Korean Bell with a Bicycle Rim” ausgezeichnet. In der Mathematik ging der erste Preis an eine Arbeit “Embedding a Flat Torus in Three Dimensional Euclidean Space”. (Pressemeldung)
Es ist ja eigentlich ein klassischer Satz der Differentialgeometrie, dass es im 3-dimensionalen Raum keinen flachen Torus gibt (der Torus muss lokale Maxima und Minima haben, in denen die Krümmung positiv ist) und man für einen flachen Torus mindestens vier Umgebungsdimensionen braucht. Wie immer in der Mathematik hängt das aber von den gemachten Voraussetzungen ab. Wenn man über mindestens 2-mal differenzierbare Flächen redet, dann gibt es tatsächlich keinen flachen Torus im 3-dimensionalen Raum. Wenn die Fläche nicht wenigstens 2-mal differenzierbar ist, dann kann man keine Krümmung definieren und der Beweis der Nichtexistenz eines eingebetteten flachen Torus funktioniert nicht mehr. Und erstaunlicherweise funktioniert nicht nur der Beweis der Nichtexistenz nicht mehr, sondern es gibt wirklich isometrische Einbettungen des flachen Torus in den R3. Das hatte John Nash schon in den 50er Jahren bewiesen und in den letzten Jahren sind solche Tori dann auch numerisch berechnet worden. (Ich nehme an, dass es auch in der ausgezeichneten Schülerarbeit um solche numerischen Realisierungen am Computer ging, leider gehen aus den Pressemitteilungen keine näheren Informationen zum Inhalt der Arbeit hervor.)
Die flachen Tori im Raum sind das Ergebnis einer fraktalen Konstruktion, dieses Ausstellungsstück im Maison des mathématiques et de l’informatique de Lyon der ENS Lyon zeigt einen der ersten Teilschritte der Konstruktion:
Mehr ins Detail geht dieses kurze Video:
Das Verfahren beruht auf konvexer Integration und wird in dieser Arbeit von Borrelli-Jabrane-Lazarus-Thibert beschrieben.
Über die Einbettung des Torus gibt es auch ein Numberphile-Video (wohl aus Anlaß des Abelpreises für John Nash)
und noch ein ähnliches zum selben Thema:
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