Hausdorffdimensionen in der hyperbolischen Geometrie

Sehr symmetrische Fraktale lassen sich mit Hilfe der hyperbolischen Geometrie konstruieren: man nimmt eine diskrete Gruppe von Isometrien des 3-dimensionalen hyperbolischen Raumes (eine “Kleinsche Gruppe”) und schaut sich den Orbit eines Punktes unter dieser Gruppenwirkung an. Den Rand des 3-dimensionalen hyperbolischen Raumes denkt man sich als 2-dimensionale Sphäre (oder als Ebene mit noch einem Punkt im Unendlichen). Die Limesmengen der Kleinschen Gruppe besteht aus denjenigen Punkten in der Sphäre, die sich durch Punkte im Orbit beliebig gut annähern lassen. (Oder formal ausgedrückt: man nimmt den Abschluss des Orbits und schneidet ihn mit der Sphäre im Unendlichen.)

Solche Limesmengen liefern bekannte Bilder von Fraktalen, die sehr symmetrisch aussehen weil sie ja von der gesamten Kleinschen Gruppe wieder auf sich selbst abgebildet werden müssen.

Für Fuchssche Gruppen erhält man als Limesmenge einen Kreis und für quasifuchssche Gruppen einen Quasikreis (im Bild unten tiefschwarz, der Rest des Bildes sind Hilfslinien der Konstruktion).

Für kokompakte Gruppen, also diejenigen Gruppen von Isometrien des hyperbolischen Raumes für die kompakt ist, ist die Limesmenge die gesamte Sphäre. Und auch für manche Flächengruppen erhält man als Limesmenge eine die gesamte Sphäre ausfüllende Peanokurve.

Die Bilder oben suggerieren, dass Limesmengen komplizierte Fraktale sind, deren Hausdorffdimensionen meist grösser als 1 sind (oder zumindest gleich 1 für die Fuchsschen Gruppen, wo man als Limesmenge einen Kreis bekommt).

Es gibt aber auch Kleinsche Gruppen, deren Limesmengen wie im Bild unten Cantormengen sind, deren Hausdorffdimension kleiner ist als 1.

Gruppen mit solchen Limesmengen kann man konstruieren wie folgt. Man nehme 2k paarweise disjunkte Kreisscheiben . Für gibt es loxodromische Isometrien , die jeweils das Innere von bijektiv auf das Äußere von abbilden. Die von erzeugte Gruppe von Isometrien wird als klassische Schottky-Gruppe bezeichnet. (Es gibt auch nicht-klassische Schottkygruppen, bei denen hat man statt der Kreisscheiben einfach nur Jordan-Kurven in der Ebene.)

Die Limesmenge einer solchen Gruppe ist eine Cantormenge und ihre Hausdorffdimension ist kleiner als 1. Man kann sich nun fragen, ob es noch andere Kleinsche Gruppen gibt, deren Limesmenge Hausdorffdimension kleiner 1 hat. Für Kleinsche Gruppen, deren Elemente loxodromische Isometrien sind (d.h. jeweils zwei Fixpunkte im Unendlichen haben) wird diese Frage in einem gestern auf dem ArXiv erschienenen Preprint von Yong Hou beantwortet: die klassischen Schottkygruppen sind die einzigen mit Hausdorffdimension kleiner 1.

Yong Hou (2016). The classification of Kleinian groups of Hausdorff dimensions at most
one ArXiv arXiv: 1610.03046v1