Ein anderes, elementareres Beispiel aus der “Wirklichkeit”: eine Arbeit von Altschuler und Philipps, veröffentlicht in Musical Times und populärwissenschaftlich aufbereitet in der Feature Column der American Mathematical Society interpretiert Musikwerke mittels der Topologie von Flächen.
Für ein 2-dimensionales Koordinatensystem hat man die Zeit und die Tonhöhe – so ergibt jede Melodie einen Graphen in der 2-dimensionalen Ebene. Doch manchmal kommen zusätzliche Besonderheiten ins Spiel, wegen derer man statt der Ebene besser kompliziertere Flächen betrachten sollte.
Die Autoren wenden das auf zwei der Bachschen Kanons (BVW 1087) an.
Kanon 3 hat wie alle Bachschen Kanons die Struktur, dass das Stück nach einer Einleitung periodisch wird, also sich dann auf einem Zylinder bewegt.
Kanon 5 hingegen hat die Besonderheit, dass das Notenbild eine Gleitspiegelung aufweist.
Man bewegt sich also auf einem Möbiusband.
Und wenn man noch die Tonalität berücksichtigt, also dass das hohe und das tiefe C in gewisser Weise derselbe Ton sind, dann bewegen sich die Musikstücke naturlich nicht mehr auf einem Zylinder oder Möbiusband, sondern auf einem Torus oder einer Kleinschen Flasche.
Berechnen kann man damit natürlich nichts, es dient nur der Visualisierung. Aber man kann damit Melodien als Kurven auf einer Fläche interpretieren, mithin als Punkte in einem gewissen Modulraum. Notabene nicht im Modulraum der Flächen, sondern der Kurven auf einer Fläche. Um mit dieser Interpretation tatsächlich etwas anfangen zu können, bräuchte man freilich Invarianten, die es tatsächlich erlauben, die Lage einer Melodie im Modulraum zu lokalisieren. Das Problem ist vielleicht vergleichbar mit dem der höheren Teichmüllertheorie: die Topologie der Modulräume der Darstellungen von Flächengruppen kann mittels globaler Methoden (Morse-Theorie) bestimmt werden, aber erst geometrisch definierte Invarianten erlauben die Lokalisierung einzelner Darstellungen im Modulraum.
Modulräume von Kurven
Der Wikipedia-Artikel setzt seine Einleitung dann fort mit
Beispielsweise ist die projektive Ebene der Modulraum aller Geraden durch den Nullpunkt im R3. Der Modulraum der komplexen elliptischen Kurven ist die Modulkurve SL(2,Z)/H2.
Nun geht es in Mirzakhanis Arbeit ja tatsächlich
nicht um irgendwelche Modulräume, sondern um den Modulraum der
(komplexen) Kurven (also der Riemannschen Flächen oder äquivalent der hyperbolischen Flächen) eines gegebenen Geschlechts g≥2. Für den ist die von der hyperbolischen Ebene überlagerte Modulkurve als Modulraum der elliptischen Kurven (oder äquivalent der euklidischen Flächen vom Geschlecht 1) das “toy example”, dessen Dynamik vergleichsweise einfach ist und wo die Beweise meist auf das Überprüfen (nichttrivialer) Eigenschaften der Multiplikation von 2×2-Matrizen hinauslaufen.
Die Probleme der Dynamik auf Modulräumen kann man im Beispiel der hyperbolischen Flächen zumindest anreißen. Zum Beispiel besagt ein 1937 von Hedlund bewiesener Satz, dass der horozyklische Fluss auf kompakten hyperbolischen Flächen “eindeutig ergodisch” ist, sich also sehr gleichmäßig über die Fläche verteilt. Ein berühmter Satz von Marina Ratner verallgemeinert dies auf horosphärische Flüsse in höherdimensionalen lokal-homogenen Räumen und beweist, dass deren Orbiten stets einen “algebraischen Orbit” als Abschluss haben. Und eine noch unveröffentlichte Arbeit von Eskin und Mirzakhani aus dem Jahr 2013 beweist einen entsprechenden Satz für gewisse Flüsse auf Modulräumen, obwohl deren Dynamik eigentlich als viel komplizierter gilt.
Grobes und Feines
In der algebraischen Geometrie hat man für die Klassifikation algebraisch-geometrischer Objekte die Definitionen eines feinen Modulraums und eines groben Modulraums. Der feine Modulraum hat bessere Eigenschaften, existiert aber nicht immer.
geht es bei Wikipedia weiter.
Diese Definitionen gehen auf Grothendieck zurück: der feine Modulraum trägt eine universelle Familie der zu klassifizierenden Objekte – zum Beispiel gibt es ein universelles Flächenbündel über dem Modulraum Riemannscher Flöchen – und der grobe Modulraum ist die bestmögliche Approximation in Fällen, wo der feine Modulraum nicht existiert.
Nun gab es den Modulraum Riemannscher Flächen natürlich schon vor Grothendieck und seine universelle Eigenschaft war schon Teichmüller bekannt. Im in Vorbereitung befindlichen Band VI des Handbuchs der Teichmüller-Theorie gibt es einen Artikel “On Grothendieck’s construction of Teichmüller space” von A’Campo-Ji-Papadopoulos über die Rolle des Modulraums Riemannscher Flächen bei der Entwicklung des funktoriellen Zugangs, also des Konzepts des feinen (und groben) Modulraums.
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