Modulräume

Was ist ein Modulraum?

“To classify all equations or curves of a given genus, one attempts to construct an object each of whose points represents one such curve. This object is known as a moduli space.”

aus David Reed: “Classification in Mathematics and Biology: Some Recent Trends”, 2001.

Zahlreiche Nachrufe, die nach dem tragischen Tod von Maryam Mirzakhani Mitte Juli in Zeitungen und Zeitschriften veröffentlicht wurden, bemühten sich redlich, auch etwas vom mathematischen Werk der Fieldsmedaillengewinnerin zu vermitteln, meist allerdings mit dem Tenor, dass dieses für den Uneingeweihten ohnehin völlig unverständlich sei.

Die FAZ etwa schrieb

“Schon die Namen der Arbeitsgebiete dürften den meisten Menschen nichts sagen: Mirzakhani beschäftigte sich mit Modulräumen, mit hyperbolischer Geometrie oder auch der sogenannten Ergodentheorie.

beim SPIEGEL hieß es:

Für ihre Forschung, die nur wenige Eingeweihte wirklich verstehen können, wurde Mirzakhani 2014 als erster Frau in der Geschichte die Fields-Medaille verliehen.

und bei N24:

Diese abstrakten geometrischen Welten sind für Laien und sogar für Mathematiker anderer Teildisziplinen schlicht unzugänglich.

Während das Problem der asymptotischen Berechnung der Anzahl geschlossenenr Geodäten gegebener Maximallänge auf einer hyperbolischen Fläche hier und da durchaus angerissen war, wurden vor allem die jüngeren Arbeiten zur Dynamik auf Modulräumen durchgängig als etwas völlig unerklärbares beschrieben.

Dabei hatte der SPIEGEL in seiner Jahreschronik 2014 Mirzakhanis Arbeit noch so erklärt:

Als Doktorarbeit gab ihr McMullen eine Aufgabe, die er für schwierig, aber lösbar hielt: Sie sollte alle geschlossenen, sich nicht kreuzenden Linien zählen, die sich auf der Oberfläche eines beliebigen Körpers (einer Riemannschen Fläche) zeichnen lassen.
[…]
Mirzakhani hatte erkannt, dass nur ein Umweg sie zum Ziel führen würde. Bei ihrer Beweisführung beschränkte sie sich nicht auf die Riemannschen Flächen, sie wagte sich vielmehr in deren “Modulraum” vor, ein höchst abstraktes Gebilde, in dem jede Fläche als ein Punkt betrachtet wird. Dabei betrat sie Neuland, weil Modulräume berüchtigt für ihre bizarren, unberechenbaren Eigenschaften sind. Kritzelnd tastete sie sich immer weiter vor in diese unbekannte Welt. Gleichsam am Wegesrand stieß sie auf neue Beweise für Theoreme, über denen andere Mathematiker seit vielen Jahre gebrütet hatten.

Gemeint sind in diesem Kontext zwar immer die in der reinen Mathematik omnipräsenten Modulräume Riemannscher Flächen mit ihren “bizarren, unberechenbaren Eigenschaften” – aber, ganz allgemein: WAS ist eigentlich ein Modulraum?

Die ADK Modulraum, eine Baufirma für Bürokomplexe, definiert ihren Namen als “Bauen mit Räumen” – das trifft die mathematische Bedeutung des Begriffs ganz gut.

Etwas förmlicher beginnt der Artikel Modulraum in der Wikipedia:

In der Mathematik bezeichnet man einen geometrischen Raum, dessen Punkte den verschiedenen mathematischen Objekten eines bestimmten Typs entsprechen, als Modulraum dieser Objekte.

Was soll man sich darunter vorstellen?

Modulräume von Pixeln und Melodien

Anschaulicher als die Modulräume Riemannscher Flächen sind zunächst Modulräume einfacherer geometrischer Objekte zu erklären. Der Modulraum 1-dimensionaler Unterräume des 2-dimensionalen Raums etwa ist die projektive Gerade, topologisch ein Kreis, und der Modulraum 1-dimensionaler Unterräume des 3-dimensionalen Raumes ist die projektive Ebene.

Ein lebensnaheres Beispiel diskutiert eine Arbeit von Carlsson, Ishkhanov, de Silva und Zomorodian (“On the local behavior of spaces of natural images”), die 2007 im International Journal of Computer Vision erschien und im vergangenen Dezember Thema des monatlichen Essays auf der Webseite der American Mathematical Society war.

In dieser Arbeit werden die in Naturphotos vorkommenden 3×3-Pixel analysiert. Mathematisch liegen die Helligkeitswerte der 3×3-Pixel in einem 9-dimensionalen Raum. Mit zwei Normalisierungen kann man annehmen, dass sie in einer 7-dimensionalen Sphäre liegen.
Die Autoren nahmen eine Datenbank mit 4167 Photos und erfassten eine Auswahl von 4 Millionen der in diesen Photos vorkommenden 3×3-Pixeln.

Ihre Datenanalyse zeigt letztlich, dass die Helligkeitswerte sich um eine in der 7-dimensionalen Sphäre liegende Kleinsche Flasche herum häufen. Sicherlich ein überraschendes Vorkommen der Kleinschen Flasche in der “Natur”.

Ein anderes, elementareres Beispiel aus der “Wirklichkeit”: eine Arbeit von Altschuler und Philipps, veröffentlicht in Musical Times und populärwissenschaftlich aufbereitet in der Feature Column der American Mathematical Society interpretiert Musikwerke mittels der Topologie von Flächen.

Für ein 2-dimensionales Koordinatensystem hat man die Zeit und die Tonhöhe – so ergibt jede Melodie einen Graphen in der 2-dimensionalen Ebene. Doch manchmal kommen zusätzliche Besonderheiten ins Spiel, wegen derer man statt der Ebene besser kompliziertere Flächen betrachten sollte.

Die Autoren wenden das auf zwei der Bachschen Kanons (BVW 1087) an.
Kanon 3 hat wie alle Bachschen Kanons die Struktur, dass das Stück nach einer Einleitung periodisch wird, also sich dann auf einem Zylinder bewegt.
Kanon 5 hingegen hat die Besonderheit, dass das Notenbild eine Gleitspiegelung aufweist.
Man bewegt sich also auf einem Möbiusband.
Und wenn man noch die Tonalität berücksichtigt, also dass das hohe und das tiefe C in gewisser Weise derselbe Ton sind, dann bewegen sich die Musikstücke naturlich nicht mehr auf einem Zylinder oder Möbiusband, sondern auf einem Torus oder einer Kleinschen Flasche.

Berechnen kann man damit natürlich nichts, es dient nur der Visualisierung. Aber man kann damit Melodien als Kurven auf einer Fläche interpretieren, mithin als Punkte in einem gewissen Modulraum. Notabene nicht im Modulraum der Flächen, sondern der Kurven auf einer Fläche. Um mit dieser Interpretation tatsächlich etwas anfangen zu können, bräuchte man freilich Invarianten, die es tatsächlich erlauben, die Lage einer Melodie im Modulraum zu lokalisieren. Das Problem ist vielleicht vergleichbar mit dem der höheren Teichmüllertheorie: die Topologie der Modulräume der Darstellungen von Flächengruppen kann mittels globaler Methoden (Morse-Theorie) bestimmt werden, aber erst geometrisch definierte Invarianten erlauben die Lokalisierung einzelner Darstellungen im Modulraum.

Modulräume von Kurven

Der Wikipedia-Artikel setzt seine Einleitung dann fort mit

Beispielsweise ist die projektive Ebene der Modulraum aller Geraden durch den Nullpunkt im R³. Der Modulraum der komplexen elliptischen Kurven ist die Modulkurve SL(2,Z)/H².

Nun geht es in Mirzakhanis Arbeit ja tatsächlich
nicht um irgendwelche Modulräume, sondern um den Modulraum der
(komplexen) Kurven (also der Riemannschen Flächen oder äquivalent der hyperbolischen Flächen) eines gegebenen Geschlechts g≥2. Für den ist die von der hyperbolischen Ebene überlagerte Modulkurve als Modulraum der elliptischen Kurven (oder äquivalent der euklidischen Flächen vom Geschlecht 1) das “toy example”, dessen Dynamik vergleichsweise einfach ist und wo die Beweise meist auf das Überprüfen (nichttrivialer) Eigenschaften der Multiplikation von 2×2-Matrizen hinauslaufen.

Die Probleme der Dynamik auf Modulräumen kann man im Beispiel der hyperbolischen Flächen zumindest anreißen. Zum Beispiel besagt ein 1937 von Hedlund bewiesener Satz, dass der horozyklische Fluss auf kompakten hyperbolischen Flächen “eindeutig ergodisch” ist, sich also sehr gleichmäßig über die Fläche verteilt. Ein berühmter Satz von Marina Ratner verallgemeinert dies auf horosphärische Flüsse in höherdimensionalen lokal-homogenen Räumen und beweist, dass deren Orbiten stets einen “algebraischen Orbit” als Abschluss haben. Und eine noch unveröffentlichte Arbeit von Eskin und Mirzakhani aus dem Jahr 2013 beweist einen entsprechenden Satz für gewisse Flüsse auf Modulräumen, obwohl deren Dynamik eigentlich als viel komplizierter gilt.

Grobes und Feines

In der algebraischen Geometrie hat man für die Klassifikation algebraisch-geometrischer Objekte die Definitionen eines feinen Modulraums und eines groben Modulraums. Der feine Modulraum hat bessere Eigenschaften, existiert aber nicht immer.

geht es bei Wikipedia weiter.

Diese Definitionen gehen auf Grothendieck zurück: der feine Modulraum trägt eine universelle Familie der zu klassifizierenden Objekte – zum Beispiel gibt es ein universelles Flächenbündel über dem Modulraum Riemannscher Flöchen – und der grobe Modulraum ist die bestmögliche Approximation in Fällen, wo der feine Modulraum nicht existiert.

Nun gab es den Modulraum Riemannscher Flächen natürlich schon vor Grothendieck und seine universelle Eigenschaft war schon Teichmüller bekannt. Im in Vorbereitung befindlichen Band VI des Handbuchs der Teichmüller-Theorie gibt es einen Artikel “On Grothendieck’s construction of Teichmüller space” von A’Campo-Ji-Papadopoulos über die Rolle des Modulraums Riemannscher Flächen bei der Entwicklung des funktoriellen Zugangs, also des Konzepts des feinen (und groben) Modulraums.

In the course of his work on the subject, Grothendieck considered that classical algebraic geometry did not have enough tools for formulating and proving the existence of Teichmüller space as a universal object carrying a complex structure, and for giving an algebraic model for moduli spaces. In the introduction to the first lecture, he writes: “In doing this, the necessity of reshaping the foundations of analytic geometry, inspired by the theory of schemes, will be manifest.” In particular, the notion of schemes which he had newly introduced turned out to be useful in dealing with the problems of moduli of Riemann surfaces and in other moduli problems.

Seit März gibt es übrigens vor Grothendiecks einstigem Wohnhaus in der Berliner Brunnenstrasse 165 einen Stolperstein, finanziert von der Klasse 9/3 des Heinrich-Hertz-Gymnasiums durch Kuchenverkauf. Und wahrscheinlich ist Grothendieck auch der erste Mathematiker, dessen Nachlass geschätzt wurde: die Universitätsbibliothek, die Grothendiecks Nachlaß von seinen Kindern erwerben will, liess dessen Wert auf 45.000 Euro schätzen.

Grundlagenkrise der Geometrie

Daneben spricht man auch in anderen Gebieten der Mathematik von Modulräumen mathematischer Objekte, ohne dass es für diesen Begriff eine einheitliche Definition gäbe. Beispielsweise ist in der symplektischen Geometrie der Modulraum der pseudoholomorphen Kurven von großer Bedeutung oder in der Teichmüller-Theorie der Modulraum hyperbolischer Metriken.

endet schließlich die Einleitung des Wikipedia-Artikels.

Die in symplektischer Geometrie und verwandten Gebieten vorkommenden Modulräume verstecken enorme analytische Probleme schon bei ihrer Konstruktion und beim Beweis ihrer grundlegenden Eigenschaften. Die Arbeiten, in denen ihre Grundlagen entwickelt werden, sind oft Hunderte Seiten lang, äußerst detailreich und schwer nachzuvollziehen. In manchen Fällen gibt es konkurrierende Ansätze zur formalen Konstruktion der Modulräume und wer eine Arbeit etwa bei einer Fachzeitschrift einreichen will, kann im Vorhinein nicht wissen, ob er an einen Gutachter geraten wird, der den einen oder anderen Ansatz als vollständig bewiesen oder noch unsicher ansehen wird. Ein Beispiel dieser Problemattik, die Konstruktion des Modulraums pseudo-holomorpher Kurven in einer symplektischen Mannigfaltigkeit und die darauf beruhende Definition der Floer-Homologie diskutierte Anfang des Jahres das Quanta Magazine in einem Artikel “A fight to fix Geometry’s foundations”. Eine spannende Lektüre, auch wenn die Fachleute sicher nicht mit allen Folgerungen einverstanden sein werden. (Zum Beispiel wird der Gegensatz Analysis-Geometrie über- und die Rolle der Arbeiten von Andreas Floer unterbetont.) Die Frage “Was ist der Modulraum?” scheint oft nicht so leicht zu beantworten.