Modulräume

In the course of his work on the subject, Grothendieck considered that classical algebraic geometry did not have enough tools for formulating and proving the existence of Teichmüller space as a universal object carrying a complex structure, and for giving an algebraic model for moduli spaces. In the introduction to the first lecture, he writes: “In doing this, the necessity of reshaping the foundations of analytic geometry, inspired by the theory of schemes, will be manifest.” In particular, the notion of schemes which he had newly introduced turned out to be useful in dealing with the problems of moduli of Riemann surfaces and in other moduli problems.

Seit März gibt es übrigens vor Grothendiecks einstigem Wohnhaus in der Berliner Brunnenstrasse 165 einen Stolperstein, finanziert von der Klasse 9/3 des Heinrich-Hertz-Gymnasiums durch Kuchenverkauf. Und wahrscheinlich ist Grothendieck auch der erste Mathematiker, dessen Nachlass geschätzt wurde: die Universitätsbibliothek, die Grothendiecks Nachlaß von seinen Kindern erwerben will, liess dessen Wert auf 45.000 Euro schätzen.

Grundlagenkrise der Geometrie

Daneben spricht man auch in anderen Gebieten der Mathematik von Modulräumen mathematischer Objekte, ohne dass es für diesen Begriff eine einheitliche Definition gäbe. Beispielsweise ist in der symplektischen Geometrie der Modulraum der pseudoholomorphen Kurven von großer Bedeutung oder in der Teichmüller-Theorie der Modulraum hyperbolischer Metriken.

endet schließlich die Einleitung des Wikipedia-Artikels.

Die in symplektischer Geometrie und verwandten Gebieten vorkommenden Modulräume verstecken enorme analytische Probleme schon bei ihrer Konstruktion und beim Beweis ihrer grundlegenden Eigenschaften. Die Arbeiten, in denen ihre Grundlagen entwickelt werden, sind oft Hunderte Seiten lang, äußerst detailreich und schwer nachzuvollziehen. In manchen Fällen gibt es konkurrierende Ansätze zur formalen Konstruktion der Modulräume und wer eine Arbeit etwa bei einer Fachzeitschrift einreichen will, kann im Vorhinein nicht wissen, ob er an einen Gutachter geraten wird, der den einen oder anderen Ansatz als vollständig bewiesen oder noch unsicher ansehen wird. Ein Beispiel dieser Problemattik, die Konstruktion des Modulraums pseudo-holomorpher Kurven in einer symplektischen Mannigfaltigkeit und die darauf beruhende Definition der Floer-Homologie diskutierte Anfang des Jahres das Quanta Magazine in einem Artikel “A fight to fix Geometry’s foundations”. Eine spannende Lektüre, auch wenn die Fachleute sicher nicht mit allen Folgerungen einverstanden sein werden. (Zum Beispiel wird der Gegensatz Analysis-Geometrie über- und die Rolle der Arbeiten von Andreas Floer unterbetont.) Die Frage “Was ist der Modulraum?” scheint oft nicht so leicht zu beantworten.