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Gleichungen lösen mit Farben

Von / 29. März 2018 / 7 Kommentare
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Im neuen Video von 3Blue1Brown geht es um das Lösen 2-dimensionaler Gleichungen wie zum Beispiel

ye^x=y^2\\ \sin(\vert xy\vert)=3y .

Die Idee ist die Bildebene wie im Titelbild oben in farblich gekennzeichnete Regionen aufzuteilen. Die Funktion f\colon{\mathbb R}^2\to{\mathbb R}^2 kann man dann benutzen, um die Urbildebene entsprechend den Farben der Bildpunkte einzufärben.

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Der Algorithmus ist dann eine 2-dimensionale Version des Zwischenwertsatzes, den man aus der 1-dimensionalen Theorie kennt (zwischen einem positiven und einem negativen Funktionswert liegt immer eine Nullstelle). Wenn auf dem Rand eines Gebietes alle Farben „in der richtigen Reihenfolge“ realisiert sind, dann muss es eine Nullstelle im Inneren des Gebietes geben. Man kann dann das Gebiet immer kleiner wählen, um sich der Nullstelle anzunähern.

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Der hinter diesem Prinzip stehende mathematische Satz lautet: wenn für eine Abbildung f:D2—->D2 ihre Einschränkung f:S1—->S1 eine von Null verschiedene „Windungszahl“ hat, dann ist f surjektiv (und hat insbesondere eine Nullstelle). Beweisen kann man das mit dem Brouwerschen Abbildungsgrad. (Hier stand ursprünglich eine falsche Bedingung, die ich nachträglich korrigiert habe. Eine surjektive Abbildung S1—->S1 kann durchaus Wimdungszahl 0 haben.)

Hier nun das gesamte Video:

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Kommentare (7)

  1. #1 Fluffi
    29. März 2018

    Der hinter diesem Prinzip stehende mathematische Satz lautet: wenn für eine Abbildung f:D2—->D2 ihre Einschränkung f:S1—->S1 surjektiv ist,

    Was ist D2 ? Was ist S1? Und
    для дураков
    Was ist surjektiv?

  2. #2 Thilo
    29. März 2018

    D2 ist eine abgeschlossene Kreisscheibe, S1 deren Rand (vulgo: Kreislinie). surjektiv heißt, dass jeder mögliche Wert angenommen wird.

  3. #3 Jan
    30. März 2018

    Werden irgendwelche Annahmen ueber Stetigkeit von f gebraucht (keine Loecher reissen)? Kann sein, dass das im Video erwaehnt wird, aber das Video ist lang, der Satz ist kurz.

  4. #4 Sven
    30. März 2018

    @Jan:
    Ja, f muss stetig sein. Ohne diese Bedingung könnte man ja z.B. eine Funktion g definieren, die auf dem Rand mit f übereinstimmt, und sonst überall konstant gleich 1 ist. Dann hat g offensichtlich keine Nullstelle. Für nicht stetige Funktionen lässt sich also aus dem Verhalten auf dem Rand nichts über Nullstellen im Inneren aussagen. (Das ist im eindimensionalen ja auch so.)

    @Thilo:
    Ist die Aussage

    wenn für eine [stetige] Abbildung f:D^2—->D^2 ihre Einschränkung f:S^1—->S^1 surjektiv ist, dann ist auch f surjektiv

    so wirklich korrekt? Im Video wird bei 12:55 doch ein Gegenbeispiel gezeigt.

  5. #5 Thilo
    30. März 2018

    Ja, als Topologe meint man mit „Abbildung“ immer stetige Abbildungen. Sonst könnte man leicht Gegenbeispiele finden.

    Mein ursprüngliches Statement war aber nicht korrekt, es fehlte die Bedingung über die Windungszahl. Wird gleich korrigiert.

  6. #6 jonny
    2. April 2018

    Immer diese schwachsinnigen Fragen. Jemand versucht ein tolles mathematisches Konzept zu erklären und sofort kommt irgendein Troll daher und fragt ob alle Funktionen stetig sind.

  7. #7 Thilo
    2. April 2018

    Wieso, das ist doch eine sich aufdrängende Frage (falls man nicht gerade aus einem Teilgebiet der Mathematik kommt, wo sowieso alle Abbildungen stetig sein sollen)