Theorema Magnum MDCCCLXXXIX: die Klassifikation der einfachen Lie-Algebren

“The greatest mathematical paper of all time” betitelte 1989 der Mathematical Intelligencer eine Besprechung A.J.Colemans über Wilhelm Killings hundert Jahre zuvor erschienene Arbeit “Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen, Teil 2”. Diese Arbeit sei das Paradigma für alle späteren Klassifikationen algebraischer Strukturen gewesen, außerdem seien die in ihr entwickelten Methoden unabdingbar für die Entwicklung der Darstellungstheorie gewesen, Wurzelsysteme, Weyl-Gruppen und Coxeter-Systeme wären in dieser Arbeit erstmals vorgekommen ebenso wie die in der Physik wichtige Lie-Gruppe E₈.

“Kontinuierliche Gruppen”, wie man Lie-Gruppen im 19. Jahrhundert nannte, wurden damals noch als Gruppen infinitesimaler Transformationen betrachtet, also in heutiger Sprache als Lie-Algebren. (Der Zusammenhang zwischen kontinuierlichen Gruppen und ihren infinitesimalen Versionen war durch die Lie’schen Sätze geklärt worden. Erst 1893 fanden Engel und Study, dass beispielsweise in SL(2,C) nicht jedes Element der Lie-Gruppe das Exponential eines Elements der Lie-Algebra ist und insofern Lie-Gruppen noch komplizierter sein können als die zugehörigen Lie-Algebren.)

Killing strebte eigentlich eine Klassifikation der Raumformen an und arbeitete deshalb unabhängig von Lie an der Klassifikation der Lie-Algebren. Weil deren allgemeine Klassifikation zu schwer war (und ist), begann er zunächst mit den komplexen einfachen Lie-Algebren. (Er nannte eine Lie-Algebra “halbeinfach”, wenn sie keine auflösbare Lie-Unteralgebra besitzt. Halbeinfache Lie-Algebren kann man als direkte Summen zerlegen und die nicht mehr zerlegbaren Summanden nannte er “einfach”.) Er hatte zunächst vermutet, dass es nur die beiden aus der Geometrie bekannten Serien gibt: die zu SL(n,C) gehörenden Lie-Algebren sl(n,C)={A∈Mat(n,C): Spur(A)=0} und die zu SO(n,C) gehörenden Lie-Algebren so(n,C)={A∈sl(n,C): A+A^T=0} (mit n>2). Bei der Arbeit an der Klassifikation fand er zunächst die später G₂ genannte Gruppe, bald danach die symplektischen Gruppen und schließlich noch fünf weitere Ausnahmegruppen, von denen sich zwei später als isomorph herausstellten.

Sophus Lie hatte ebenfalls erfolglos an der Klassifikation der Lie-Algebren gearbeitet. Killings Vorteil war wohl, dass er die damals neuen Methoden der linearen Algebra bereits verinnerlicht hatte. Sein Ansatz bestand darin, die durch ad(x)(y):=[x,y] gegebene “adjungierte Wirkung” von Elementen x auf der Lie-Algebra zu betrachten. ad(x) ist eine lineare Abbildung der Lie-Algebra und man kann im Geiste der linearen Algebra versuchen, sie zu diagonalisieren.
Man betrachte beispielsweise in sl(n,C) eine Diagonalmatrix x mit Einträgen x₁,…,x_n. Dann bildet ad(x) jede Diagonalmatrix auf 0 und jede andere Matrix E_ij (mit i-j-Eintrag gleich 1 und sonst nur Nullen) auf x_iE_ij ab. In dieser Basis ist ad(x) also diagonal.
Killing betrachtete nun eine maximale, bzgl. der Wirkung von ad diagonalisierbare, Unteralgebra, also eine Unteralgebra L, so dass alle x∈L in derselben Basis diagonalisierbar sind. Für sl(n,C) ist das die Unteralgebra der Diagonalmatrizen (oder jede zu ihr durch Basiswechsel konjugierte Unteralgebra) und die Basis besteht im Fall der Diagonalmatrizen aus den Matrizen E_ij mit i≠j und den Diagonalmatrizen E_ii-E_jj. Solche Unteralgebren nennt man heute Cartan-Unteralgebren. Killing behauptete, dass die Elemente einer solchen Unteralgebra alle miteinander kommutieren. (Sein Beweis war fehlerhaft, die Behauptung wurde erst 1894 in der Dissertation von Élie Cartan bewiesen. Für die Klassifikation benötigt man aber nur eine etwas schwächere Eigenschaft.)

Die gleichzeitige Diagonalisierbarkeit der ad(x), x∈L, bedeutet, dass man eine Basis der Lie-Algebra hat, so dass ad(x) auf einem Basiselement durch Multiplikation mit einer (von x abhängenden) Zahl α(x) wirkt. Zu jedem dieser Basiselemente hat man also eine Abbildung α:L–>C.
Die für verschiedene Basiselemente vorkommenden α bilden ein sogenanntes Wurzelsystem R des Dualraums L*. Das bedeutet, dass sie bzgl. eines gewissen Skalarprodukts (dem Dual der Killing-Form) folgende Eigenschaften haben:
– sie bilden ein endliches Erzeugendensystem des Dualraums L*
– für jedes α bildet die Spiegelung s_α an der zu α orthogonalen Hyperebene R auf sich ab
– für alle α,β gibt es eine ganze Zahl c_α,β mit s_α(β)-β=c_α,βα.
(Killings Definition war etwas anders, er verwendete noch gar nicht das später nach ihm benannte Skalarprodukt und entsprechend auch nicht die durch dieses Skalarprodukt definierte Spiegelung.)

Das Bild zeigt das Wurzelsystem für sl(3,R). In diesem Fall ist L der zweidimensionale Raum der Diagonalmatrizen diag(l₁,l₂,l₃) mit l₁+l₂+l₃=0, die Killingform ist das Dual der hier durch 6 Spur(XY) definierten Killing-Form, und das Wurzelsystem besteht aus den sechs Abbildungen α_ij(diag(l₁,l₂,l₃))=l_i-l_j für (i,j)=(1,2),(1,3),(2,3),(2,1),(3,1),(3,2). Man kann zwei der Wurzeln als Basis verwenden, so dass dann jede andere Wurzel entweder eine positive oder eine negative Linearkombination aus einer oder beiden dieser Wurzeln ist. (Man bezeichnet diese beiden Wurzeln dann als “einfache Wurzeln” und ihre Linearkombinationen mit nichtnegativen Koeffizienten als „positive Wurzeln“. Ein System “einfacher Wurzeln” mit dieser Eigenschaft kann man in jedem Wurzelsystem finden.)

Killing hatte damit die Klassifikation der einfachen Lie-Algebren auf die Klassifikation der Wurzelsysteme zurückgeführt. Um die Wurzelsysteme zu klassifizieren, betrachtete er die Matrix mit Einträgen c_α,β, wobei α und β die einfachen Wurzeln durchläuft. Diese Matrix wird heute als Cartan-Matrix bezeichnet. Ihre Diagonaleinträge sind c_α,α=2 und alle anderen Einträge sind nichtpositiv: c_α,β≤0. Aus den Eigenschaften eines Wurzelsystems kann man aber noch mehr beweisen, insbesondere c_α,βc_β,α≤3 was die Möglichkeiten für die ganzzahligen c_α,β sehr einschränkt.
Es gelang Killing dann, alle möglichen Cartan-Matrizen, mithin alle möglichen Wurzelsysteme und somit alle einfachen Lie-Algebren zu klassifizieren. (Womit er insbesondere auch die bis dahin nicht bekannten einfachen Lie-Algebren fand.)

Heutzutage verwendet man Dynkin-Diagramme zur Klassifikation der Cartan-Matrizen. Das sind Graphen, deren Knoten den positiven Wurzeln entsprechen und bei denen jeweils c_α,βc_β,α≤3 Kanten zwischen den α und β entsprechenden Knoten eingezeichnet sind. Aus den Eigenschaften der Cartan-Matrix kann man Eigenschaften des Dynkin-Diagramms herleiten: zum Beispiel ist es immer ein Baum, drei parallele Kanten kann es nur für das Diagramm G₂ geben usw. Letztlich bekommt man so mit kombinatorischen Argumenten die obige Liste der möglichen Dynkin-Diagramme eines Wurzelsystems.

Killing verwies in der Einleitung seiner Arbeit darauf, dass er die Terminologie Lies benutze, die der Leser in den Arbeiten Engels nachschlagen könne. (Lies Arbeiten hatten lange als unverständlich gegolten, erst nachdem Felix Klein seinen Leipziger Assistenten Friedrich Engel an Lie “ausgeliehen” hatte und dieser mit Lie ein dreibändiges Werk über Transformationsgruppen verfaßte, änderte sich das.) Killing hatte mit Engel in Briefkontakt gestanden und daraus erst Lies Begrifflichkeiten gelernt. Lie, der lange erfolglos an der Klassifikation von Lie-Algebren gearbeitet hatte, fühlte sich nach Erscheinen von Killings Arbeit betrogen und beschwerte sich bei Felix Klein als zuständigem Herausgeber, dass Engel seine Ideen freigiebig verteile und andere wie Killing sie deshalb jetzt ohne seine Erlaubnis für ihre Arbeit verwenden würden. Einen solchen Vertrauensmißbrauch habe er nicht für möglich gehalten. Außerdem sei Killings Arbeit voller Fehler.
Killings Arbeit war jedenfalls schwer lesbar, aber schon fünf Jahre später wurde in Élie Cartans Dissertation der Beweis noch einmal in sehr viel lesbarerer Form aufbereitet. Das führte dazu, dass Leute später nur noch Cartan und nicht das Original lasen. Obwohl Cartan die Prioritäten klar angegeben hatte, geriet Killings Arbeit über längere Zeit in Vergessenheit oder galt jedenfalls als voller Fehler, was sich auch in der Benennung der Cartan-Unteralgebren und Cartan-Matrizen nach Cartan zeigte, während Cartans einziger eigener Beitrag, die Killing-Form, kurioserweise nach Killing benannt wurde.

Bild: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Wilhelm_Karl_Joseph_Killing.jpeg