Theorema Magnum MDCCCXCI: Minkowskis Gitterpunktsatz

Seit Descartes verwendet man Koordinatensysteme, um die Geometrie zu algebraisieren, also geometrische Probleme auf algebraische Berechnungen zurückzuführen. In der auf Hermann Minkowski zurückgehenden „Geometrie der Zahlen“ geht es umgekehrt darum, zahlentheoretische Sätze mit einfachen geometrischen Argumenten zu beweisen.

Der Startpunkt von Minkowskis Theorie war der folgende Satz, mit dem er eine schwächere Ungleichung von Hermite verbesserte:
Zu einer quadratischen Form Q in n Variablen gibt es einen ganzzahligen Vektor x≠0 mit .
(Hier bezeichnet V_n das Volumen der n-dimensionalen Einheitskugel und det(Q) die Determinante der zu der quadratischen Form assoziierten symmetrischen Matrix.)

Beweis: Q kann bekanntlich durch eine Matrix A mit diagonalisiert werden, so dass . Durch A wird also das Ellipsoid Q(x,x)≤C in die Kugel vom Radius √C abgebildet.

Es gibt also einen Punkt x in Zⁿ, dessen Bild unter A in der Kugel vom Radius liegt. Damit gilt für x die Ungleichung Q(x,x)≤R².

Mit einem analogen Argument bekommt man, dass eine um einen Gitterpunkt (z.B. 0) gelegte Kugel vom Radius M/2 noch einen weiteren Gitterpunkt enthalten muß, wenn die Ungleichung MⁿV_n > det(Q) erfüllt ist.
Allgemeiner betrachtet Minkowski für ein Gitter L einen zum Nullpunkt symmetrischen, beschränkten und konvexen Körper K. Wenn dann die Ungleichung vol(K)>2ⁿvol(L) erfüllt ist, wobei mit vol(L) wieder das Volumen des Fundamentalbereichs des Gitters gemeint ist, dann gibt es zwangsläufig mindestens einen (weiteren neben 0) Gitterpunkt in K.
Beweis: Weil K größeres Volumen als das Gitter 2L hat, gibt es in K zwei Punkte p und p+2l für einen Gitterpunkt l. Dann ist wegen der Symmetrie um den Nullpunkt auch -p-2l in K, und wegen der Konvexität auch (p+(-p-2l))/2=-l. Also gibt es einen Gitterpunkt in K.

Dieser Satz wird als Minkowskis Gitterpunktsatz bezeichnet und mit diesem, wie ihn Minkowski in einem Brief an Hilbert bezeichnete, „lächerlich einfachen Beweis“ bekam er dann kurze Beweise für verschiedene klassische Sätze der Zahlentheorie.
Das vielleicht überzeugendste Beispiel ist der sehr kurze Beweis des auf Euler zurückgehenden Satzes, dass jede Primzahl der Form 4k+1 als Summe zweier Quadratzahlen zerlegt werden kann. Der Beweis geht wie folgt: zu einer Primzahl p=4k+1 gibt es ein u mit u²=-1 mod p. Man betrachtet nun das Gitter aller ganzen Zahlen (x,y) mit y=ux mod p. Die Fläche eines Fundamentalbereichs ist p. Man erhält aus dem Gitterpunktsatz, dass es einen Gitterpunkt mit gibt. Andererseits folgt aus u²=-1 mod p, dass x²+y²=(u²+1)x² mod p = 0 mod p. Die einzige durch p teilbare Zahl, welche die Ungleichung erfüllt, ist p. Also x²+y²=p.

Mit dem Gitterpunktsatz bekam Minkowski eine Reihe weiterer kurzer Beweise zu klassischen Sätzen der Zahlentheorie:
– der Lagrangesche Vierquadratesatz (1770), demzufolge sich jede natürliche Zahl als Summe von vier Quadratzahlen zerlegen läßt,
– der Dirichletsche Einheitensatz (1837) demzufolge die Einheitengruppe im Ganzheitsring eines Zahlkörpers K den Rang r+s-1 hat, wobei r die Anzahl der Einbettungen K—>R und s die Anzahl der Paare komplex-konjugierter Einbettungen K—>C ist,
– der Dirichletsche Approximationssatz (1842), demzufolge es zu jeder Zahl x unendlich viele rationale Zahlen p/q mit |x-p/q| < 1/q² gibt. (Hurwitz verbesserte 1891 noch die rechte Seite zu 1/√5q². Das Ergebnis ist optimal in dem Sinne, dass es für algebraische Zahlen x zu jedem c>0 nur endlich viele p/q mit |x-p/q| < 1/q^2+c gibt, was 1955 von K. F. Roth bewiesen wurde.)