Nachdem von Mangoldt 1895 die Äquivalenz des Primzahlsatzes zu der sehr viel schwächeren Version der Riemann-Vermutung bewiesen hatte, war der Weg frei für einen analytischen Beweis, der ein Jahr später Hadamard und (mit einer einige Wochen früher veröffentlichten Arbeit) dem Belgier Charles-Jean de la Vallée Poussin gelang, wobei Hadamards Beweis als der einfachere galt. (Ungewöhnlicherweise gab es wegen dem Primzahlsatz nie Prioritätsstreitigkeiten, obwohl beide Protagonisten fast hundert Jahre alt wurden.)
Es gab später zahlreiche weitere Beweise des Primzahlsatzes, die unterschiedliche Ansätze der analytischen Zahlentheorie verwendeten. Einen elementaren Beweis ohne Verwendung der Riemannschen Zetafunktion fand erst Atle Selberg 1948.
Bild: https://jewishcurrents.org/december-8-the-prime-number-theorist/
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