1899 bewies Hilbert in einer fünf Seiten langen Arbeit, dass man alle Probleme im Beweis des Dirichlet-Prinzips umgehen kann, wenn man gewisse Regularitätsbedingungen an den Rand stellt und die Randbedingungen als stetig und beschränkt annimmt. Sein Beweis war in heutiger Sprache ein Kompaktheitssatz: für eine Folge von Funktionen, die das Infimum des Funktionals approximieren, bewies er die Existenz eines Grenzwerts – der dann klarerweise eine Lösung ist. (Harnack hatte schon früher den potentialtheoretischen Ansatz unter restriktiveren Bedingungen zum Erfolg gebracht.) In Harvard bewies Osgood 1900 den Abbildungssatz für beschränkte Gebiete mit beliebigem Rand, was aber in Europa zunächst nicht bekannt wurde.
Eng mit dem Abbildungssatz zusammen hängt der schon Anfang der 80er Jahre von Poincaré und Klein behauptete, aber nicht rigoros bewiesene, Uniformsierungssatz für algebraische Kurven: jede komplexe Kurve ist entweder eine rationale Kurve, oder eine elliptische Kurve, oder von der Einheitskreisscheibe mittels einer holomorphen Abbildung überlagert. (Weil die biholomorphen Abbildungen der Einheitskreisscheibe gerade die Isometrien der hyperbolischen Metrik sind, folgt daraus auch, dass jede komplexe Kurve vom Geschlecht g≥2 eine hyperbolische Metrik hat, während sie im Fall g=0 bzw. g=1 eine sphärische bzw. flache Metrik hat.)
Für den Beweis des Uniformisierungssatzes genügt der erste Teil des Abbildungssatzes, den man auf die universelle Überlagerung der komplexen Kurve anwendet, für die also eine biholomorphe Abbildung auf das Innere der Kreisscheibe konstruiert werden soll, man benötigt ihn aber für beliebige (nicht zu P1C oder C isomorphe) einfach zusammenhängende komplexe Kurven, nicht nur für Gebiete in der komplexen Ebene. Man benötigt nicht die stetige Forsetzbarkeit der Abbildung auf den Rand. Diesen für den Uniformisierungssatz ausreichenden Teil des Abbildungssatzes bewiesen Koebe und einige Monate später Poincaré 1907 unabhängig voneinander. Nachdem dank Hilbert der Abbildungssatz für Gebiete mit Rand unter gewissen Regularitätsbedingungen bewiesen war, war der Ansatz, ein offenes Gebiet durch Gebiete mit diesen Regularitätsbedingungen genügendem Rand zu approximieren. (Die Möglichkeit einer solchen Ausschöpfung bewies der Numeriker Carl Runge.) Für die Teilmengen hat man biholomorphe Abbildungen auf den Einheitskreis bzw. auch auf etwas kleinere Kreise, deren Radius gegen 1 konvergiert. Die Folge dieser Abbildungen soll dann (nach Wahl einer Teilfolge) lokal gleichmäßig gegen eine Abbildung auf den Einheitskreis konvergieren, die wieder biholomorph ist. (Für g=0 und g=1 folgt der Uniformisierungssatz aus dem Satz von Riemann-Roch.) Koebe gab in den folgenden Jahren weitere Beweise wie auch zahlreiche Anwendungen und Verbesserungen.
Die allgemeinst-mögliche Version des Abbildungssatzes, also die stetige Fortsetzbarkeit der Abbildung falls der Rand eine Jordan-Kurve ist, bewies schließlich 1912 Constantin Carathéodory, die Arbeit Über die gegenseitige Beziehung der Ränder bei der konformen Abbildung des Inneren einer Jordanschen Kurve auf einen Kreis wurde ein Jahr später in den Mathematischen Annalen veröffentlicht. Sein Beweis gab auch die Lösung des Dirichlet-Problems für Jordankurven als Rand, dieses ist also äquivalent zum Abbildungssatz.
Das höher-dimensionale Analog des Abbildungssatzes ist selbst in der topologischen Kategorie nicht korrekt, es gibt also nicht immer einen Homöomorphismus auf die Kugel. Vermutlich deshalb gibt es wohl auch im 2-dimensionalen Beweise keine rein topologischen Beweise für den Homöomorphismus auf die Kreisscheibe.
Ein geometrischer Beweis des Abbildungssatzes mittels immer feinerer Kreispackungen wurde erst kurz vor Ende des Jahrhunderts von He und Schramm gefunden.
Kommentare (1)