Theorema Magnum MCMXXI: das Lokal-Global-Prinzip

Für den Beweis des Lokal-Global-Prinzips gibt es zunächst zwei elementare Reduktionen. Zum einen sind quadratische Formen genau dann äquivalent, wenn sie dieselben Zahlen darstellen. Zum anderen kann man das Problem auf die Darstellbarkeit der Null (allerdings für eine andere Form) reduzieren:
Für eine rationale Zahl m≠0 und eine quadratische Form in n Variablen f gibt es genau dann eine rationale Lösung von f(x₁,…,x_n)=m, wenn die quadratische Form in n+1 Variablen F=f-mx_n+1² eine rationale Lösung von F(x₁,…,x_n+1)=0 hat. Damit kann man den Beweis des Lokal-Global-Prinzips auf die Frage nach der Darstellbarkeit der 0 (für quadratische Formen in n+1 Variablen) reduzieren.

Für n=1 und n=2 war das Lokal-Global-Prinzip schon vor Hasse bekannt gewesen:
– es folgt unmittelbar aus der Primzerlegung (für Zähler und Nenner der rationalen Zahl), dass eine rationale Zahl genau dann eine Quadratzahl ist, wenn das in R und in allen Q_p der Fall ist, denn dann ist sie positiv und alle in Zähler oder Nenner vorkommenden Primzahlen kommen in gerader Anzahl vor. Damit kann man leicht den Fall n=1 beweisen.
– ein klassischer Satz von Legendre gibt hinreichende und notwendige Bedingungen für die Lösbarkeit von ax²+by²+cz²=0 in rationalen Zahlen: a,b,c müssen unterschiedliche Vorzeichen haben und -bc,-ac,-ab müssen quadratische Reste modulo der Absolutbeträge von a,b,c sein. Die erste Bedingung ist natürlich äquivalent zur Lösbarkeit in reellen Zahlen. Die zweite Bedingung ist äquivalent zur Lösbarkeit in p-adischen Zahlen für alle Primzahlen p, wie Hasse von Hensel lernte. Hensel hatte p-Varianten des Legendre-Symbols und Hilbert-Symbols definiert, mit denen er Legendres Beweis der Darstellbarkeit nachvollziehen konnte.

Für n=3 und n=4 fand Hasse neue Invarianten und mittels dieser Kriterien, die notwendig und hinreichend für die Darstellbarkeit der Null sind.

Für n>4 wurde es viel einfacher, denn hier war die 0 – wie Hasse mit einem kurzen Argument durch Rückführung auf n=4 bewies – über den p-adischen Zahlen immer darstellbar (und über den reellen genau dann, wenn die Form indefinit ist), und mit einem analogen Argument funktioniert diese Darstellbarkeit der 0 auch über den rationalen Zahlen. (Ein wesentliches Ingredient im Beweis für n≥3 war der Satz von Dirichlet, dass es in jeder teilerfremden arithmetischen Reihe eine Primzahl gibt.)

Hasses Beweis verwandte bekannte und neue Invarianten zur Klassifikation quadratischer Formen über Q.
Um diese zu definieren, verwendete er, dass jede quadratische Form über Q äquivalent zu einer Form ist. (Das ist der Trägheitssatz von Sylvester, der allgemein über Körpern der Charakteristik char(K)≠2 gilt.) Dann ist neben der Anzahl der Variablen n zunächst die Diskriminante eine bekannte Invariante.
Weiterhin sind quadratische Formen über R durch die Signatur (die Anzahl der negativen a_i) klassifiziert. Neu war Hasses Klassifikation der quadratischen Formen über p-adischen Zahlen Q_p (und deren algebraischen Erweiterungen). Diese werden durch ihre als Produkt von Hilbert-Symbolen der Koeffizienten definierte Hasse-Invariante klassifiziert. (Das Hilbert-Symbol (a,b)_p nimmt per Definition den Wert 1 oder -1 an, je nachdem ob z²=as²+by² in Q_p lösbar ist oder nicht.)
Diese Invarianten sind nicht unabhängig: das Vorzeichen der Diskriminante ist durch die Signatur festgelegt, und die Hilbert-Symbole genügen der Produktformel (wobei p=∞ den reellen Zahlen entspricht). Hasse zeigte, dass diese reellen und p-adischen Invarianten gemeinsam bereits die quadratischen Formen über Q klassifizieren, was das Lokal-Global-Prinzip beweist.

Bildquelle: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Hasse,Helmut_1930_Jena.jpg