Theorema Magnum MCMXXIII: die Lefschetzsche Fixpunktformel

Die Lefschetzsche Fixpunktformel wurde von den Mathematikern als der größte Erfolg der Analysis Situs angesehen. Und die homologische Schnittzahl stellte die Theorie der Korrespondenzen, wie sie von den algebraischen Geometern und besonders der italienischen Schule lange verwendet worden war, auf eine topologische Grundlage. (Streng genommen benötigte man beim damaligen simplizialen Zugang zur Homologietheorie dafür die Triangulierbarkeit algebraischer Varietäten, die von Poincaré skizziert worden war, aber erst später von van der Waerden formal bewiesen wurde.)

In seiner Arbeit kündigte Lefschetz an, dass er seinen Beweis auf Mannigfaltigkeiten mit Rand ausdehnen könne und damit einen neuen Beweis des Brouwerschen Fixpunktsatzes für stetige Abbildungen f:Bⁿ—->Bⁿ erhalten könne. Für die Vollkugel Bⁿ sind mit Ausnahme von H₀ alle Homologiegruppen H_k(Bⁿ;R)=0; auf H₀(Bⁿ;R)=R wirkt f als Multiplikation mit 1 oder -1, womit . Für die dafür benötigte Verallgemeinerung seines Beweises auf Mannigfaltigkeiten mit Rand benötigte er dann aber noch einige Jahre.

Mit der Topologie algebraischer Flächen hatte sich vor der italienischen Schule auch schon Picard befaßt. Dessen Methode beruhte auf der Betrachtung von (heute als Lefschetz-Faserungen bezeichneten) Abbildungen der komplexen Fläche auf die projektive Gerade P¹C (die topologisch die 2-Sphäre ist) und der Untersuchung der Frage, wie sich in Abhängigkeit vom Basispunkt die Topologie der Fasern ändert. Spezielle Bedeutung kommt dabei natürlich den singulären Fasern zu. In einer singulären Faser gibt es einen "Verschwindungszykel", eine (im Vergleich zu den anderen Fasern) zu einem Punkt zusammengezogene Kurve. Die Monodromie einer geschlossenen Kurve um das Bild einer singulären Faser ist nicht trivial. Picard hatte eine explizite Formel für die Monodromie angegeben, in heutiger Sprache handelt es sich um einen Dehn-Twist am Verschwindungszykel. Lefschetz verallgemeinerte Picards Formel für Lefschetz-Faserungen höher-dimensionaler Varietäten über P¹C.

Lefschetz betrachtete auch noch allgemeinere - heute als Lefschetz-Büschel bezeichnete - Abbildungen nach P¹C, die einer Parametrisierung von - nicht disjunkten, sondern sich in einer “Achse” der Kodimension 2 schneidenden - Hyperebenenschnitten der Varietät V durch eine Teilmenge von CP¹ entsprechen. Jede projektive Varietät ist ein Lefschetz-Büschel und damit konnte er einen für die topologische Untersuchung algebraischer Varietäten extrem nützlichen Satz beweisen, den Satz über Hyperebenenschnitte: für eine Hyperebene H und eine Varietät V in CPⁿ induziert die Abbildung V ∩ H ---> V einen Isomorpismus der Homologiegruppen in niedrigen Graden, nämlich bis dim_CV-2 (und eine surjektive Abbildung in Grad dim_CV-1).

Dieser Satz macht zunächst nur eine Aussage über Hyperebenenschnitte, man kann ihn aber zur topologischen Untersuchung beliebiger Varietäten verwenden. Zu einer (durch ein Polynom P gegebenen) Varietät X im CP^k gibt es eine (aus P und seinen Ableitungen berechenbare) Einbettung ι:CP^k-->CP^N, so dass das Bild ι(X) ein Hyperebenenschnitt in V:=ι(CP^k) ist. Da die Topologie von V≅CP^k bekannt ist, kann man mit dem Satz über Hyperebenenschnitte die Topologie von V∩H=ι(X)≅X bestimen. Auf diese Weise konnte Lefschetz beispielsweise beweisen, dass singularitäten-freie algebraische Flächen X⊂CP³ einfach zusammenhängend sind, und auch viele tiefere Resultate.
Dass dieser Satz über Hyperebenenschnitte später oft als das schwache Lefschetz-Theorem bezeichnet wurde, lag an einem anderen Satz, der den Namen „Schwerer Lefschetz-Satz“ erhielt (und vollständig erst später von Hodge bewiesen wurde). Dieser war kein rein topologisches Resultat, sondern gab für projektive Varietäten eine "transzendente" Erklärung der ursprünglich topologisch bewiesenen Poincaré-Dualität: für eine komplex n-dimensionale projektive Varietät gibt es einen unter Verwendung der komplexen Geometrie definierten Isomorphismus , so dass für alle k der Isomorphismus die Poincaré-Dualität realisiert.

Die Anwendung topologischer Argumente auf ein außerhalb der Topologie liegendes Gebiet, die algebraische Geometrie, und vor allem die zahlreichen Anwendungen des Fixpunktsatzes, überzeugten viele Mathematiker erst von der Nützlichkeit der (damals noch als Analysis Situs bezeichneten) Topologie. Lefschetz wurde 1924 nach Princeton berufen, Alexander, Lefschetz und Veblen machten Princeton in den folgenden Jahren zum Zentrum der Topologie.